![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
На практике в качестве параметра может выступать не только переменная
, но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.
Примеры:
,
,
,
Здесь ,
,
,
, и всё гуд – первый замечательный предел применим.
А вот следующая запись – ересь:
Почему? Потому-что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.
14 вопрос: Предел функций. Основные теоремы о пределах.
Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при стремлении аргумента х к некоторому пределу а или к бесконечности.
Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности. Функция
стремится к пределу
при х, стремящемся к
, если для каждого положительного числа
, как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число
, что для всех х, отличных от
и удовлетворяющих неравенству
, имеет место
неравенство
.
Если есть предел функции f(x) при
, то пишут:
или f (x)
при
.
Если при
, то на графике функции
, т.к. из неравенства
следует неравенство
, то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки
не далее чем на
, точки М графика функции
лежат внутри полосы шириной
, ограниченной прямыми
и
(рис. 2).
Рис. 2
Рассмотрим переменную величину у = f (х). При этом считать, как и всюду в дальнейшем, что из двух значений функции последующим является то значение, которое соответствует последующему значению аргумента. Если определенная так переменная величина у при стремится к некоторому пределу
, то будем писать
и говорить, что функция у = f (х) стремится к пределу b при .
Легко доказать, что оба определения предела функции эквивалентны. Замечание.
Если f (x) стремится к пределу b 1 при х, стремящемся к некоторому числу так, что x принимает только значения, меньшие
, то пишут
и называют b 1 пределом функции f (x) в точке
слева. Если х принимает только значения большие, чем
, то пишут
и называют b 2, пределом функции в точке
справа.
Можно доказать, что если, предел справа и предел слева существуют и равны, т. е. , то b и будет пределом в смысле данного выше определения предела в точке
. И обратно, еслт предел функции b в точке
, то существуют пределы функции в точке
справа и слева и они равны.
Замечание.
Для существования предела функции при не требуется, чтобы функция была определена в точке
. При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности точки
, отличные от
; это положение наглядно иллюстрируется следующим примером.
Пример. Докажем, что
. Здесь функция
не определена при х = 2.
Нужно доказать, что при произвольном найдется такое
, что будет выполняться неравенство
, (1)
если | х — 2 | < . Но при х
2 неравенство (1) эквивалентно неравенству
(2)
или .
Таким образом, при произвольном неравенство (1) будет выполняться, если будет выполняться неравенство (2) (здесь
). А это и значит, что данная функция при
имеет пределом число 4.
Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при . Определение 2. Функция f(x) стремится к пределу
, если для каждого произвольно малого положительного числа
можно указать такое положительное число N, что для всех значении х, удовлетворяющих неравенству
, будет выполняться неравенство
.
Зная смысл символов: очевидным является и смысл выражений:
стремится к b при
и
стремится к b при
,
которые символически записываются так:
,
.
Не для всякой функции существует предел
1. Предел константы равен самой этой константе:
с = с.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
[ k • f (х)] = k •
f (х).
3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:
[ f (х) ± g (х)] =
f (х) ±
g (x).
4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:
[ f (х) • g (х)] =
f (х) •
g (x).
5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:
Рассмотрим несколько типичных примеров нахождения пределов функций.
Пример 1. Найти
При х —> 3 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому непосредственное применение теоремы о пределе частного здесь невозможно. Однако данную дробь можно сократить:
(Обратите внимание на следующую важную особенность, характерную для рассмотренного примера. Когда мы говорим о пределе f (х), то обычно предполагаем, что функция f (х) определена во в с е х точках, достаточно близких к точке х = а. Однако функция
определена лишь для положительных значений х. Поэтому, рассматривая предел этой функции, мы фактически предполагаем, что х —> 0, оставаясь все время положительным. В подобных случаях говорят не просто о пределе, а об одностороннем пределе. С аналогичными примерами мы еще встретимся при выполнении упражнений к этому параграфу.)
Пример 4. Найти
Предел знаменателя дроби при х —> 0 равен 0. Поэтому непосредственное использование теоремы о пределе частного здесь невозможно. Кроме того, данную дробь нельзя сократить, как мы делали это в примерах 2 и 3. В данном случае числитель и знаменатель дроби следует умножить на выражение √1 + х + 1, сопряженное знаменателю дроби. В результате получим:
Пример 5. Найти
При х —> 4 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому применить теорему о пределе дроби нельзя. Преобразуем дробь, представив знаменатель в виде произведения:
15 вопрос: Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. (Функция натурального аргумента, ее типы образования дискретное прям. Множество)
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 269 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!