Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.
Примеры:
, , ,
Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим.
А вот следующая запись – ересь:
Почему? Потому-что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.
14 вопрос: Предел функций. Основные теоремы о пределах.
Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при стремлении аргумента х к некоторому пределу а или к бесконечности.
Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности. Функция стремится к пределу при х, стремящемся к , если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех х, отличных от и удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство
.
Если есть предел функции f(x) при , то пишут: или f (x) при .
Если при , то на графике функции , т.к. из неравенства следует неравенство , то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки не далее чем на , точки М графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми и (рис. 2).
Рис. 2
Рассмотрим переменную величину у = f (х). При этом считать, как и всюду в дальнейшем, что из двух значений функции последующим является то значение, которое соответствует последующему значению аргумента. Если определенная так переменная величина у при стремится к некоторому пределу , то будем писать
и говорить, что функция у = f (х) стремится к пределу b при .
Легко доказать, что оба определения предела функции эквивалентны. Замечание.
Если f (x) стремится к пределу b 1 при х, стремящемся к некоторому числу так, что x принимает только значения, меньшие , то пишут и называют b 1 пределом функции f (x) в точке слева. Если х принимает только значения большие, чем , то пишут и называют b 2, пределом функции в точке справа.
Можно доказать, что если, предел справа и предел слева существуют и равны, т. е. , то b и будет пределом в смысле данного выше определения предела в точке . И обратно, еслт предел функции b в точке , то существуют пределы функции в точке справа и слева и они равны.
Замечание.
Для существования предела функции при не требуется, чтобы функция была определена в точке . При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности точки , отличные от ; это положение наглядно иллюстрируется следующим примером.
Пример. Докажем, что . Здесь функция не определена при х = 2.
Нужно доказать, что при произвольном найдется такое , что будет выполняться неравенство
, (1)
если | х — 2 | < . Но при х 2 неравенство (1) эквивалентно неравенству
(2)
или .
Таким образом, при произвольном неравенство (1) будет выполняться, если будет выполняться неравенство (2) (здесь ). А это и значит, что данная функция при имеет пределом число 4.
Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при . Определение 2. Функция f(x) стремится к пределу , если для каждого произвольно малого положительного числа можно указать такое положительное число N, что для всех значении х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство .
Зная смысл символов: очевидным является и смысл выражений:
стремится к b при и
стремится к b при ,
которые символически записываются так:
, .
Не для всякой функции существует предел
1. Предел константы равен самой этой константе:
с = с.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
[ k • f (х)] = k • f (х).
3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:
[ f (х) ± g (х)] = f (х) ± g (x).
4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:
[ f (х) • g (х)] = f (х) • g (x).
5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:
Рассмотрим несколько типичных примеров нахождения пределов функций.
Пример 1. Найти
При х —> 3 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому непосредственное применение теоремы о пределе частного здесь невозможно. Однако данную дробь можно сократить:
(Обратите внимание на следующую важную особенность, характерную для рассмотренного примера. Когда мы говорим о пределе f (х), то обычно предполагаем, что функция f (х) определена во в с е х точках, достаточно близких к точке х = а. Однако функция определена лишь для положительных значений х. Поэтому, рассматривая предел этой функции, мы фактически предполагаем, что х —> 0, оставаясь все время положительным. В подобных случаях говорят не просто о пределе, а об одностороннем пределе. С аналогичными примерами мы еще встретимся при выполнении упражнений к этому параграфу.)
Пример 4. Найти
Предел знаменателя дроби при х —> 0 равен 0. Поэтому непосредственное использование теоремы о пределе частного здесь невозможно. Кроме того, данную дробь нельзя сократить, как мы делали это в примерах 2 и 3. В данном случае числитель и знаменатель дроби следует умножить на выражение √1 + х + 1, сопряженное знаменателю дроби. В результате получим:
Пример 5. Найти
При х —> 4 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому применить теорему о пределе дроби нельзя. Преобразуем дробь, представив знаменатель в виде произведения:
15 вопрос: Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. (Функция натурального аргумента, ее типы образования дискретное прям. Множество)
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 257 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!