Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:

(8.12)

Определим числовые характеристики нормально распределенной случайной величины Х. Математическое ожидание:

Применяя замену переменной

(8.13) получим

В полученном выражении первый интеграл равен нулю (интеграл в симметричных пределах от нечетной функции), а второй интеграл есть интеграл Эйлера-Пуассона:

(8.14)

Таким образом, математическое ожидание величины Х равно m: M[ X ]= m. Вычислим дисперсию СВ Х:

Применяя замену переменной (8.13) получим:

Интегрируя по частям, получим:

Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю (т.к. при t→∞ убывает быстрее, чем возрастает любая степень t), второе слагаемое, согласно (8.14), равно , откуда Таким образом, нормальное распределение случайной величины полностью описывается двумя числовыми характеристиками: математическим ожиданием M [ X ] и средним квадратичным отклонением σ. Рассмотрим влияние параметров m и σ на кривую распределения. При изменении параметра m кривая f(x), не изменяя формы, будет смещаться вдоль оси абсцисс. Изменение σ равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям; например, при удвоении σ масштаб по оси абсцисс удвоится, а по оси ординат уменьшится в два раза (рис. 8.3).Центральные моменты нечетной степени для нормально распределенной случайной величины определяются равны нуню; для вычисления центральных моментов четной степени используется рекуррентное соотношение следующего вида: (8.15). Определим вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал от α до β:

Сделав замену переменной t =(x - m)/ σ, получим:

Так как первообразная для e ^{- x} не выражается через элементарные функции, то для вычисления вероятностей событий, связанных с нормальными случайными величинами используют табулированную функцию Лапласа:

С помощью этой функции вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал от α до β определится так:

(8.16)

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1. Φ(0)=0;

2. Φ(- х)=-Φ(х);

3. Φ(-∞)=0,5.

Функция распределения нормально распределенной случайной величины через функцию Лапласа выражается так:

(8.16)

Нормально распределенная случайная величина возникает в тех случаях, когда складывается много независимых (или слабо зависимых) случайных величин Х₁, Х₂, …, X_n. Тогда, каковы бы не были законы распределения отдельных случайных величин X_i, закон распределения их суммы будет близок к нормальному распределению. В частности, ошибки измерений распределяются по закону, близкому к нормальному.

34. Распределения «хи-квадрат», Стьюдента, Фишера.

Пусть — нормально распределенные, независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а дисперсия — единице. То есть закон распределения каждой из них имеет вид: .Тогда сумма квадратов этих случайных величин: распределена по закону с k = n степенями свободы. Если случайные величины связаны линейным соотношением , то число степеней свободы равно k = n - 1.Плотность распределения с k = n степенями свободы имеет вид: ,где . В частности, .Видно, что распределение определяется всего одним параметром — числом степеней свободы k. С увеличением числа степеней свободы медленно приближается к нормальному распределению. Пусть Z — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием равным нулю и дисперсией равной единице. Пусть V — независимая от Z случайная величина, которая распределена по закону с k степенями свободы. Тогда величина имеет распределение, называемое t -распределением, или распределением Стьюдента с k степенями свободы. Плотность распределения Стьюдента имеет вид: .С ростом числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному распределению. Пусть U и V — независимые случайные величины, распределенные по закону со степенями свободы k₁ и k₂. Тогда величина имеет распределение, которое называется распределением Фишера—Снедекора со степенями свободы k₁ и k₂. Плотность распределения Фишера—Снедекора со степенями свободы k₁ и k₂ имеет вид: .