Моменты случайных величин. Асимметрия. Эксцесс

В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k -й степени случайной величины x, т.е. a _k = M x ^k.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина m _k, определяемая формулой m _k = M (x - M x) ^k.

Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a ₁ = M x, а дисперсия - центральный момент второго порядка,

a ₂ = M x ² = M (x - M x)² = D x.

Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:

m ₂ =a ₂ -a ₁², m ₃ = a ₃ - 3a _{2a 1} + 2a ₁³.

Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = M x, то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

Асимметрия

В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой

где m ₃ - центральный момент третьего порядка, - среднеквадратичное отклонение.

Эксцесс

Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины x, от нормального распределения, является эксцесс. Эксцесс g случайной величины x определяется равенством .

У нормального распределения, естественно, g = 0. Если g (x) > 0, то это означает, что график плотности вероятностей p_x (x) сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если жеg (x) < 0, то “заостренность” графика p_x (x) меньше, чем у нормального распределения.