Закон больших чисел (неравенства Маркова, Чебышева; теоремы Чебышева, Бернулли; центральная предельная теорема)

Определение 52. Говорят, что последовательность случайных величин с конечными первыми моментами удовлетворяет закону больших чисел (ЗБЧ), если

(22)

Законами больших чисел принято называть утверждения о том, при каких условиях последовательность случайных величин удовлетворяет закону больших чисел, т.е. обладает свойством (22).

Выясним сначала, когда выполнен ЗБЧ для последовательности независимых и одинаково распределённых случайных величин.

Теорема 33 (ЗБЧ Чебышёва). Для любой последовательности попарно независимых и одинаково распределённых случайных величин с конечным вторым моментом имеет место сходимость:

(23)

Заметим, что если величины одинаково распределены, то их математические ожидания одинаковы (и равны, например, ), поэтому свойство (22) можно записать в виде (23).

ЗБЧ утверждает, что среднее арифметическое большого числа случайных слагаемых «стабилизируется» с ростом этого числа. Как бы сильно каждая случайная величина не отклонялась от своего среднего значения, при суммировании эти отклонения «взаимно гасятся», так что среднее арифметическое приближается к постоянной величине.

В дальнейшем мы увидим, что требование конечности второго момента (или дисперсии) связано исключительно со способом доказательства, и что утверждение останется верным, если требовать существования только первого момента.