Интегральная и дифференциальная функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины (определение, свойства, формулы связи)

Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины изучают другим способом.
Пусть X – непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала (a; b) и x – действительное число. Под выражением X < x понимается событие «случайная величина X приняла значение, меньшее x». Вероятность этого события P (X < x) есть некоторая функция переменной x.
Определение. Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины X называется функция , равная вероятности того, что X приняла значение, меньшее x:
(1)Функция распределения совершенно также определяется для дискретных случайных величин.
Свойства интегральной функцией распределения .

1. 
   (эта функция есть вероятность).
2. 
   - неубывающая функция.
3. Вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала (a; b):
   

1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю:
   

1. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент и полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы:
   

1. Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (a; b), то

1.
при ,

2.
при .
Следствие. , .
Определение. Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины X называется функция , равная производной интегральной функции:
(2). Так как - неубывающая функция, то .
Теорема. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервале (a; b) равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения величины X, взятому в пределах от a до b:
(3).Из (3) следует, что геометрически вероятность представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности вероятности и отрезками прямых y = 0, x = a, x = b.
Следствие. В частности, если - четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то
На основании формулы Ньютона-Лейбница можно записать , откуда, в силу следствия 1, можно записать: (4).
Верно также равенство: (5).
Пример. Задана плотность вероятности случайной величины X
.
Требуется найти коэффициент ^ A, функцию распределения F (x) и вероятность попадания случайной величины X в интервал (0; 1).
Коэффициент A найдем, воспользовавшись соотношением (5).

Так как , откуда .
Применяя формулу (4), получаем функцию распределения .

Наконец, на основании 3 и 5 свойств, с учетом найденной функции F (x) получим
.