Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание случайной величины (определение, формулы нахождения для дискретных и непрерывных случайных величин, свойства)

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается M x.

Математическое ожидание дискретной случайной величины x, имеющей распределение

называется величина , если число значений случайной величины конечно.

Если число значений случайной величины счетно, то . При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей p_x (x) вычисляется по формуле . При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Если случайная величина h является функцией случайной величины x, h = f (x), то

.Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:

, .

Основные свойства математического ожидания:

-математическое ожидание константы равно этой константе, M c=c;

-математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x, h и произвольных постоянных a и b справедливо: M (ax + bh) = a M (x)+ b M (h);

-математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M (x h) = M (x) M (h).