Локальная теорема Лапласа. Теорема Пуассона

Теорема Пуассона. При большом количестве испытаний вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Однако в ряде случаев их можно заменить более простыми асимптотическими формулами. Одна из них основана на теореме Пуассона.

Если число испытаний n ® и p ® 0 так, что np ® l, l > 0, то

при любых k = 0, 1, 2, ….

Это означает, что при больших n и малых p вместо вычислений по точной формуле

можно воспользоваться приближенной формулой .

На практике пуассоновским приближением пользуются при npq= np (1-p) < 9. Исследуем точность асимптотической формулы Пуассона на следующем примере.

ПРИМЕР 1. Точность формулы Пуассона.

В здании 1000 лампочек. Вероятность выхода из строя одной лампочки в течение года p =0.003. Найдем вероятность того, что в течение одного года выйдет из строя более трех ламп. Выполним вычисления используя формулу Бернулли и по теореме Пуассона.

Для вычисления вероятности по формуле Бернулли используем формулу

P (x > 3) = 1- P(x 3) = 1- F_x (3),

где F_x (x) - функция распределения для биномиального распределения.

Для вычисления вероятности по теореме Пуассона используем формулу

P (m > 3) = 1- P(m 3) = 1- Fm (3),

где Fm (x) - функция распределения Пуассона с параметром l = np = 3.

Выполним те же вычисления для p = 0.3 и n = 10 (l = np = 3).

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если npq > 9, то для расчетов используют приближение Муавра-Лапласа

где 0 < p < 1, величина ограничена при n ® .

Требование ограниченности величины x_k означает, что при n ® величина

k тоже должна расти вместе с величиной n. Точность формулы

растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения к 0.5 величин p и q.

Исследуем точность асимптотической формулы Муавра-Лапласа на следующем примере.

ПРИМЕР 2. Точность формулы Муавра-Лапласа.

Вычислим вероятность того, что случайная величина, имеющая биномиальное распределение, принимает значение, равное n/ 2. Выполним вычисления для n = 10, 20, 50. Сравним результаты вычислений по формуле Бернулли и по приближенной формуле Муавра-Лапласа.