Понятия о дифференциальном уравнении

Обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида

F(x,y,y',y",…,y⁽ⁿ⁾) =0, (*)

где у=у(х) – искомая функция.

Любая функция у= j (х), обращающая уравнение (*) в тождество, называется решением этого уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде Ф(х,у)=0, то оно обычно называется интегралом уравнения (*).

Функция y= j (x,c ₁ ,c ₂ ,…,c_n), содержащая n призвольных постоянных, называется общим решением уравнения (*), если оно является его решением при любых значениях постоянных c ₁ ,…,c_n. Если эта функция задается в неявном виде выражением Ф(x,c ₁ ,c ₂ ,…,c_n)=0, то это выражение называется общим интегралом уравнения (*). Придавая в выражении y= j (x,c ₁ ,c ₂ ,…,c_n) или в выражении Ф(x,c ₁ ,c ₂ ,…,c_n)=0 определенные значения постоянным c ₁ ,…,c_n, получаем частное решение или соответственно частный интеграл уравнения (*).

Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид

F(x,y,y')= 0. (или y'=f(x,y)).

Если в некоторой области функция f(x,y) непрерывна и имеет ограниченную частную производную f'_y(x,y), то оказывается, что через каждую внутреннюю точку (х ₀, у ₀) этой области пройдет единственная интегральная кривая.

В такой области уравнения y'=f(x,y) имеет общее решение y= j (x,с), из которого можно найти единственное частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у=у ₀ при х=х ₀.

Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.