Операции над комплексными числами

Пусть даны два комплексных числа в алгебраической форме: z ₁ =x ₁ +y ₁ i и z ₂ =x ₂ +y ₂ i. Тогда

z ₁ ± z ₂ =(x ₁± x ₂)+(y ₁± y ₂) i;

z ₁ z ₂=(x ₁ +y ₁ i)(x ₂ +y ₂ i)= x ₁ x ₂+ x ₂ у ₁ i + x ₁ у ₂ i + у ₁ y ₂ i ² =(x ₁ x ₂- у ₁ y ₂)+ i (x ₂ у ₁+ + x ₁ у ₂);

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме как z ₁ =r ₁ (cosj ₁ +isinj ₁ ) и z ₂ =r ₂ (cosj ₂ +isinj ₂ ),

то z ₁ z ₂= r ₁ r ₂(cos(j ₁+ j ₂)+ isin(j ₁+ j ₂);

.

Формулы Муавра для возведения комплексных чисел в натуральную степень и извлечения корня n -й степени из комплексных чисел имеют вид:

(x+yi)ⁿ=(r(cosj+isinj))ⁿ=rⁿ(cosnj+isinnj);

где k= 0,1,2,…, n -1.

________________

1. Выполнить действия над комплексными числами:

а) (2+3 i)(3-2 i); б) (a+bi)(a-bi); в) (3-2 i)²; г) (1+ i)³; д) ; e) .

2. Найти , если z ₁=3+5 i; z ₂=2+3 i; z ₃=1+2 i.

3. Заданы комплексные числа: а) 1; б) i; в) -1; г) – i; д) 2Ö3-2 i; е) Ö3+ i; ж) 1+ i Ö3. Изобразить эти числа векторами на комплексной плоскости и записать их в тригонометрической и показательной формах.

4. Вычислить по формуле Муавра:

а) ; б) (-1+ i)⁵; в) (1- i Ö3)⁶.

5. Найти: а) ; б) ; в) ; г) . Найденные значения изобразить точками на комплексной плоскости.

6. Решить уравнения на множестве комплексных чисел:

а) х ³+8=0; б) х ⁴+4=0; в) х ⁵+32 i =0; г) х ³=4Ö2(1+ i).

__________________

7. Выполнить действия над комплексными числами:

а)(1+ i)(Ö5-2 i); б) 1+ i ³- ; в) ; г) .

8. Записать в тригонометрической форме числа: а) 3 i; б) -1-Ö3 i; в) 2-2 i Изобразить эти числа на комплексной плоскости.

9. Вычислить: а) (2+3 i)³; б) (cos2°+ i sin2°)⁴⁵; в) (-2+2 i)⁶; г) (1+ i Ö3)⁹.

10. Найти значения: а) ; б) ; в) .

11. Решить уравнения: а) х ²+ i =0; б) х ⁴-16=0; в) х ⁶-4 х ³+8=0. В задании в) ответ записать в показательной форме.

____________________