Глава 1. Комплексные числа

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания и задачи

к практическим занятиям для студентов

II курса очной формы обучения

инженерно-технических специальностей

(III семестр)

Брянск 2010

УДК 511

Высшая математика [Текст]+[Электронный ресурс]: методические указания и задачи к практическим занятиям для студентов II курса очной формы обучения инженерно-технических специальностей (III семестр). – Брянск: БГТУ. - 48с.

Разработали: доц. Ольшевская Н.А.

доц. Цуленева Г.Г.

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика»

(протокол № 3 от 30.11.10.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие……………………………………………………………5

Глава 1. Комплексные числа………………………………………….6

1.1. Основные понятия………………………………………..6

1.2. Операции над комплексными числами……………..….7

Глава 2. Матрицы и операции над ними……………………………10

2.1. Основные понятия………………………………………..10

2.2. Операции над матрицами………………………………..11

2.3. Обратная матрица. Матричные уравнения и системы

линейных уравнений……………………………………..15

2.4. Собственные числа и собственные векторы матрицы…18

Глава 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка……………..19

3.1 Понятия о дифференциальном уравнении………………19

3.2. Уравнения с разделяющимися переменными…………..20

3.3 Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка…21

Глава 4. Дифференциальные уравнения высших порядков,

допускающие понижения порядка……………………….22

Глава 5. Линейные однородные дифференциальные

уравнения с постоянными коэффициентами…………….24

5.1. Линейные однородные дифференциальные

уравнения второго порядка с постоянными

коэффициентами…………………………………………24

5.2. Линейные однородные дифференциальные

уравнения n -го порядка с постоянными

коэффициентами………………………………………….24

Глава 6. Линейные неоднородные дифференциальные

уравнения с постоянными коэффициентами…………….26

6.1. Линейные неоднородные дифференциальные

уравнения с постоянными коэффициентами и

со специальной правой частью……………………………26

6.2. Метод вариации произвольных постоянных

(метод Лагранжа)……………………………………….…29

Глава 7. Элементы операционного исчисления

7.1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение…..30

7.2. Решение задачи Коши для линейных

дифференциальных уравнений…………………………..34

Глава 8. Интегрирование однородных систем

с постоянными коэффициентами……………………………35

Глава 9. Ряды…………………………………………………………..36

9.1. Числовые ряды с положительными членами…………36

9.2. Знакочередующиеся ряды………………………………40

9.3. Степенные ряды…………………………………………41

9.4. Разложений функций в степенные ряды………………43

9.5. Ряды Фурье………………………………………………44

Список рекомендуемой литературы…………………………………46

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящие методические указания ориентированы на студентов второго курса инженерно-технических специальностей очной формы обучения.

Они содержат 9 глав, в которых нашли отражение все темы курса «Математика», изучаемые студентами в 3-м учебном семестре.

В каждой главе приводятся необходимые для практических занятий теоретические сведения и большое количество задач различного уровня сложности для аудиторной и самостоятельной работы студентов. Все задания снабжены ответами.

Методические указания и подобранные задачи должны помочь студентам освоить программу курса и приобрести устойчивые практические навыки решения задач.

Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Основные понятия

Комплексным числом z называется выражение вида z=x+iy, где х и у – действительные числа, i – мнимая единица, при этом i ²= -1.

Число х – называется действительной частью комплексного числа и обозначается x=ReZ, а у – мнимой частью Z, y=ImZ.

Два комплексных числа z ₁ =x ₁ +iy ₁ и z ₂ =x ₂ +iy ₂ называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: z ₁= z ₂, если x ₁= x ₂ и y ₁= y ₂.

Два комплексных числа z=x+iy и =x-iy, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Любое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой на плоскости ХОУ и любой точке плоскости можно поставить в соответствие какое-то комплексное число. При этом x=ReZ, y=ImZ, сама плоскость ХОУ называется комплексной.

Комплексное число z=x+iy можно задать иначе, определив длину радиуса-вектора точки М, получившую название модуля комплексного числа, и величину угла между положительным направлением оси ОХ и радиусом-вектором . Этот угол j (рис.1) называется аргументом комплексного числа, который обозначается как argZ.

Запись комплексного числа в виде z=x+iy называется алгебраической формой комплексного числа. Тригонометрическая форма определяет число z через его модуль и аргумент и имеет вид z=r(cosj+isinj), где , j - аргумент комплексного числа; . При определении аргумента необходимо учитывать четверть комплексной плоскости, в которой лежит точка, соответствующая данному комплексному числу:

Вид числа z=re^ij называется показательной формой комплексного числа.