Решения уравнения, задачи Коши

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=y(x) и ее первую производную y¢, т.е. уравнение вида

F(x,y,y¢)=0 или y¢=f(x,y). (1)

Решением дифференциального уравнения называется функция y=j(x), такая, что при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Задачей Коши называют задачу нахождение решения y=y(x) уравнения y¢=f(x), удовлетворяющего начальному условию . Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку плоскости Y

19. Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, изложите алгоритм его решения.

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися (отделяющимися) переменными, если его правая часть представима в виде . Тогда, в случае , общим решением уравнения является .

Пример

при x= 1, y= 1.

Преобразуем уравнение ; . Умножая оби части уравнения на , получаем уравнение с разделенными переменными . Интегрируем:

+ ; + ;

; .

По начальным данным находим c (в последнее уравнение подставляем x= 1, y =1):

1+1+0= c, c =2; - искомое частное решение.

20. Дайте определение однородного дифференциального уравнения первого порядка, укажите подстановку для его решения. Приведите примеры.

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка, называется уравнение, имеющее вид

(7)

Подстановка ; ; , где преобразует это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

,

,

.

Пример

21. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка, уравнения Бернулли, укажите методы их решения.

Существует три способа решения этого уравнения:

· метод интегрирующего множителя;

· метод введения двух функций (Бернулли);

· метод вариации постоянной (Лагранжа).

Метод введения двух функций (Бернулли) Ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций: y = u·v где u, v - функции от x. Дифференцируем: y' = u'·v + u·v' Подставляем в исходное уравнение: Выносим u за скобки: В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения: Это уравнение с разделяющимися переменными Разделяем переменные - умножаем на dx, делим на v: Интегрируем: Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое

22. Дайте определение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Укажите общее решение при различных значениях корней характеристического уравнения.

Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

Решение. Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: . Его корни , действительны и различны. Поэтому общее решение

23. Укажите виды решений неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от вида их правой части.

Пусть , где - некоторое число, не равное нулю. Тогда

если, , , то частное решение уравнения ищут в виде , где - неизвестное число, которое находят, подставляя в неоднородное уравнение;

если , а , то в этом случае частное решение ищут в виде ;

наконец, если и и , т.е. , то .

2. Если , где – многочлен степени , то

при , решение ищут, просто «передразнивая» правую часть, т.е. , как и правая часть, должна представлять собой произведение многочлена той же степени, что и в правой части уравнения, но с неопределенными коэффициентами, и ,т.е. . В частности, если , то ;

при , частное решение ищут в виде ;

при находим по формуле .

2. Пусть теперь , т.е. в правой части уравнения находится многочлен некоторой степени или некоторое число (если степень многочлена нулевая). Тогда мы можем воспользоваться формулами, рассмотренными выше, полагая в них . (Действительно и, очевидно, ).

Таким образом, имеем:

если , , то ;

если , , то ;

если , то .

24. Дайте определение числового ряда. Сформулируйте необходимое условие сходимости числового ряда.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность u₁, u₂,…,u_n,…. Выражение

(1)

называется числовым рядом. Числа u₁, u₂,…,u_n,… называются первым, вторым, …, n- м, … членами ряда. u_n также называется общим членом ряда.

Если существует конечный предел то он называется суммой ряда (1), а ряд (1) называется сходящимся. Если не существует или равен бесконечности, то ряд (1) называется расходящимся и суммы не имеет.

25. Сформулируйте признаки сходимости знакоположительных числовых рядов: признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши.

Если ряд сходится, то

Признак Д’Аламбера
Если существует то:
при ряд сходится;
при ряд расходится.

Радикальный признак Коши
Если существует то:
при ряд сходится;
при ряд расходится.

Интегральный признак Коши
Пусть задан ряд , члены которого являются значениями непрерывной, положительной и монотонно убывающей функции f(x) на промежутке . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл . Если же расходится, то ряд также будет расходящимся.

26. Дайте определение знакопеременного и знакочередующегося рядов. Сформулируйте признаки сходимости, понятие условной и абсолютной сходимости.

Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов) Ряд сходится, если:
.

Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд . Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называют сходящимся условно.
Очевидно, что если ряд сходится, то ряд также сходится. Обратное утверждение в общем случае неверно

27. Дайте определение функционального ряда и степенного ряда, области сходимости степенного ряда. Запишите формулы для нахождения радиуса сходимости степенного ряда по Даламберу и Коши.

Пусть для степенного ряда существует .
Если , то ряд сходится только в точке .
Если , то ряд сходится на всей числовой оси.
Если , то ряд сходится в интервале .
Пусть для степенного ряда существует .
Если , то ряд сходится на всей числовой оси.
Если , то ряд сходится только в точке .
Если , то ряд сходится в интервале
Вопрос о сходимости ряда на концах интервала сходимости решают дополнительным исследованием.

28. Запишите ряд Тейлора и ряд Маклорена разложения функции в степенной ряд.

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+ 1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

29. Разложите в ряд Маклорена функции , , , , , .