Метод вычисления

Если дробь неправильная (т.е. степень P (x) больше степени Q (x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

Разложить знаменатель Q (x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

Вычислить интегралы от простейших дробей.

12. Объясните правила интегрирования тригонометрических функций.

При интегрировании тригонометрических функций используются тригонометрические преобразования, направленные на то, чтобы привести интеграл к табличному виду (т sin x; т cos x), или чтобы сделать замену.

13. Дайте определение определенного интеграла, сформулируйте его свойства.

Приращение f(b) – f(a) любой из первообразных функций f(x)+C при изменении аргумента от x=a до x=b называется определенным интегралом

От а до b функции f(x) и обозначается

Свойства.

1.Постойянный множитель можно вынести за знак интеграла, если A=const то

2.Опретеденный интеграл от алгебраической суммы двух не прерывных функций равен алгебраической сумме их интегралов

3.Если функция f(x) неотрицательная а отрезке [a;b], где а<b то

14. Запишите формулу Ньютона – Лейбница, таблицу интегралов.

Формула Ньютона – Лейбница

15. Раскройте геометрический смысл определенного интеграла, изложите правила вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Читая эту формулу справа налево, находим

Геометрический смысл определенного интеграла. Если f (x) непрерывна и положительна на [ a, b ], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f (x) (см. рис. 5.).

16. Дайте определение несобственных интегралов: с бесконечными пределами, от неограниченных функций.

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

· Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

· Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

Если существует конечный предел придел:

To этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом от функции f(^x) и обозначается

Несобственный интеграл от неограниченных функций — как обычный, но подынтегральная функция f(x) терпит бесконечный разрыв (не существует):

1) в точке х = а,

2) или в точке х = Ь,

3) или в обеих точках сразу,

4) или даже на отрезке интегрирования.

Пусть функция у = f (х) непрерывна, но не ограниченая на полуинтервале [а, Ь).

Если существует и конечен предел

где б > о, то он называется несобственным интегралом (несобственным интегралом второго рода) от функции у = f (х) на [а, Ъ) и обозначается

17. Дайте определение дифференциального уравнения, порядка уравнения, решения уравнения. Приведите примеры дифференциальных уравнений.

Определение 1. Уравнение, содержащее независимую переменную, функцию от этой независимой переменной и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Определение 2. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид

F(x,y,y ', y '', …, y ⁽ⁿ⁾)=0.

Пример

Решаем дифференциальное уравнение:

Произведем нормировку уравнения. Разделим все уравнение на коэффициент при y'. Получим:

Вычисляем вспомогательную фунцию:

Вычисляем:

Согласно теории по данному типу диффуров, записываем выражение:

Интегрируем левую и правую часть. Получим:

Выразим искомую функцию y(x):

Записываем финальный ответ:

18. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка, общего и частного