Доказательство. Пусть проводится независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие наступает с вероятностью и

Пусть проводится независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие наступает с вероятностью и, следовательно, не наступает с вероятностью . Пусть, так же, в ходе испытаний вероятности и остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате независимых испытаний, событие наступит ровно раз?

Оказывается можно точно подсчитать число "удачных" комбинаций исходов испытаний, для которых событие наступает раз в независимых испытаниях, - в точности это количество сочетаний из по :

.

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместимы (событие либо наступает, либо нет), то вероятность получения "удачной" комбинации в точности равна: .

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз, нужно сложить вероятности получения всех "удачных" комбинаций. Вероятности получения всех "удачных" комбинаций одинаковы и равны , количество "удачных" комбинаций равно , поэтому окончательно получаем:

.

Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно так же заметить, что в силу полноты группы событий, будет справедливо:

.

15.

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой числособытий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью инезависимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Определение[править | править исходный текст]

Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

,

где

· обозначает факториал числа ,

· — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , записывается: .

Моменты[править | править исходный текст]

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

,

откуда

,

.

Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:

,

где

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения Пуассона[править | править исходный текст]

Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть . Тогда

.

Пусть , и . Тогда условное распределение при условии, что , биномиально. Более точно:

.

ПУАССОНА ФОРМУЛА

- 1) То же, что Пуассона интеграл. 2) Формула, дающая интегральное представление решения задачи Коши для волнового уравнения в пространстве :

и имеющая вид

(1) где

- среднее значение функции j на сфере S_at в пространстве (х, у, z) радиуса at с центром в точке М, d W- элемент площади единичной сферы. В случае неоднородного волнового уравнения в формуле (1) добавляется третье слагаемое (см. [2]).

Из формулы (1) спуска методом получаются формулы решения задачи Копти для случая двух (Пуассона формула) и одного (Д ¹ Аламбера формула) пространственного переменного (см. [2]). См. также Кирхгофа формула.

3) Иногда П. ф. наз. интегральное представление решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространстве :

имеющее вид

(2)

Формула (2) непосредственно обобщается на любое число пространственных переменных