Доказательство. KX - это случайная величина, которая принимает значение KXi и ,P(KX=kxi)=pi i=1, 2,,n

KX - это случайная величина, которая принимает значение KX_i и, P (KX = kx_i)= p_i i =1, 2,..., n. Математическое ожидание KX:

M [ KX ]= kx ₁ p ₁+ kx ₂ p ₂+...+ kx_np_n=k (x ₁ p ₁+ x ₂ p ₂+...+ x_np_n)= KM [ X ]

Следующие свойства приводятся без доказательства.

3. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M [ X + Y ]= M [ X ]+ M [ Y ].

Следствие. Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий:

M [ X - Y ]= M [ X ]- M [ Y ].

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M [ XY ]= M [ X ]· M [ Y ].

5. Если все значения случайной величины Х уменьшить (увеличить) на одно и то же число С, то математическое ожидание её уменьшится (увеличится) на то же число С.

Следствие. Математическое ожидание отклонения случайной величины Х от её математического ожидания равно нулю.

1.2.6. Дисперсия случайной величины

Математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения, представленными в нижеприведенных таблицах.

X	-0.1	-0.01		0.01	0.1		Y	-20	-10
p	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1	p	0.3	0.1	0.2	0.1	0.3

Математические ожидания их одинаковы и равны нулю:

M [ X ] = –0.1·0.1–0.01·0.2+0·0.4+0.01·0.2+0.1·0.1 = 0;

M [ Y ] = –20·0.3–10·0.1+0·0.2+10·0.1+20·0.3 = 0.

Однако характер распределения их различный. Случайная величина Х может принимать значения, мало отличающиеся от математического ожидания.

Случайная величина Y может принимать значения, значительно отклоняющиеся от математического ожидания, и вероятности их не малы.

Так, при одинаковой средней величине осадков, выпадающих в двух местностях за год, нельзя сказать, что климат этих местностей одинаков.

Иными словами, по математическому ожиданию нельзя судить о том, какие отклонения от него возможны. А тем не менее умение дать оценку рассеяния имеет важное значение.