Нормальное распределение. Нормальное распределение – распределение Гаусса играет особую роль в теории вероятностей и её приложениях

Нормальное распределение – распределение Гаусса играет особую роль в теории вероятностей и её приложениях. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Этому закону подчиняется, при соблюдении определённых условий, распределение суммы достаточно большого числа случайных величин, каждая из которых может иметь произвольное распределение. Так при изучении биномиального распределения мы воспользовались тем, что число появлений события в сумме Бернулли можно представить в виде суммы индикаторов. Пользуясь этом, позже мы покажем, что при биномиальное распределение быстро приближается к нормальному, то есть обоснуем интегральную теорему Муавра-Лагранжа.

Непрерывная случайная величина распределяется нормально, если её плотность вероятности имеет вид:

(2.31)

Графики плотности вероятности и функции распределения приведены на Рис.2.8-2.9.

Рис.2.8		Рис.2.9

Найдём функцию распределения:

Сделав замену переменной

и разбивая интеграл на два, приходим к функции Лапласа, значения которой табулированы:

(2.32)

График плотности вероятности симметричен относительно прямой , ось является горизонтальной асимптотой, точки – точки перегиба, максимальное значение равно и достигается при . Условие нормировки (2.12) принимает вид:

Определения математического ожидания и дисперсии приводят к вычислению аналогичных интегралов, что даёт:

(2.33)

Таким образом, параметрами, определяющими нормальное распределение (иногда употребляется запись ) – математическое ожидание и – среднеквадратическое отклонение.

Очевидно, изменение параметра сводится к параллельному переносу графика по оси . Для того, чтобы понять, как влияет параметр на этот график, заметим, что при уменьшении возрастает . Но площадь фигуры, ограниченной графиком плотности вероятности и осью , равна 1. Поэтому при уменьшении кривая должна быстрее приближаться к оси вдали от и более резко возрастать вблизи этого значения.

Если функция распределения известна, то можно легко найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

(2.34)

Воспользуемся полученным соотношением и получим, так называемое, правило трёх . Для этого найдём:

То есть, практически достоверно то, что нормально распределённая величина примет значение, отличающееся от её математического ожидания по модулю не более, чем на . Иначе говоря, практически невозможно появление значения, выходящего за пределы этого интервала. Последнее обстоятельство находит широкое применение в различных приложениях.