Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
.
Формула (1.32) упрощает вычисление дисперсии.
Следующие свойства приводятся без доказательства.
4. Дисперсия суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
.
5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
.
1.2.8. Моменты
Математическое ожидание, определение которого было дано в предыдущем параграфе, называется еще моментом, а точнее, начальным моментом первого порядка случайной величины. Этот момент обозначается μ и называется еще средним, или генеральным средним.
Определение. Начальным моментом r-го порядка дискретной случайной величины называется
(1.33) |
для r = 1, 2,...
Определение. Начальным моментом r-го порядка для непрерывной случайной величины называется
. | (1.34) |
Термин "момент" пришел из физики. Если p (x) является точкой масс, действующей перпендикулярно оси Х на расстоянии х от начала координат, то является "центром тяжести масс", т. е. первый момент, деленный на . Математическое ожидание обозначается μ.
Определение. Центральным моментом порядка r для дискретной случайной величины называется величина
, | (1.35) |
где μ - математическое ожидание.
Определение. Центральным моментом порядка r для непрерывной случайной величины называется величина
. | (1.36) |
Дисперсия является центральным моментом второго порядка для случайной величины, обозначаемым D [ X ], σ2 или var(X).
Третий центральный момент μ3 описывает симметрию распределения, через него вводится показатель асимметрии в виде
. |
14. Биномиа́льное распределе́ние
в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна .
Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром , то есть при каждом величина принимает значения («успех») и («неудача») с вероятностями и соответственно. Тогда случайная величина
имеет биномиальное распределение с параметрами и . Это записывается в виде:
.
Случайную величину обычно интерпретируют как число успехов в серии из одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании.
Функция вероятности задаётся формулой:
где
— биномиальный коэффициент.
Функция распределения[править | править исходный текст]
Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:
,
где обозначает наибольшее целое, не превосходящее число , или в виде неполной бета-функции:
.
Моменты[править | править исходный текст]
Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:
,
откуда
,
,
а дисперсия случайной величины.
.
Свойства биномиального распределения[править | править исходный текст]
Пусть и . Тогда .
Пусть и . Тогда .
Связь с другими распределениями[править | править исходный текст]
Если , то, очевидно, получаем распределение Бернулли.
Если большое, то в силу центральной предельной теоремы , где — нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией .
Если большое, а — фиксированное число, то , где — распределение Пуассона с параметром .
Если случайные величины и имеют биномиальные распределения и соответственно, то условное распределение случайной величины при условии – гипергеометрическое .
Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.
Формулировка[править | править исходный текст]
Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие наступит раз в независимых испытаниях, равна: , где .
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 206 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!