Решение. Формула (1.32) упрощает вычисление дисперсии

.

Формула (1.32) упрощает вычисление дисперсии.

Следующие свойства приводятся без доказательства.

4. Дисперсия суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

.

5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

.

1.2.8. Моменты

Математическое ожидание, определение которого было дано в предыдущем параграфе, называется еще моментом, а точнее, начальным моментом первого порядка случайной величины. Этот момент обозначается μ и называется еще средним, или генеральным средним.

Определение. Начальным моментом r-го порядка дискретной случайной величины называется

(1.33)

для r = 1, 2,...

Определение. Начальным моментом r-го порядка для непрерывной случайной величины называется

.

(1.34)

Термин "момент" пришел из физики. Если p (x) является точкой масс, действующей перпендикулярно оси Х на расстоянии х от начала координат, то является "центром тяжести масс", т. е. первый момент, деленный на . Математическое ожидание обозначается μ.

Определение. Центральным моментом порядка r для дискретной случайной величины называется величина

,

(1.35)

где μ - математическое ожидание.

Определение. Центральным моментом порядка r для непрерывной случайной величины называется величина

.

(1.36)

Дисперсия является центральным моментом второго порядка для случайной величины, обозначаемым D [ X ], σ² или var(X).

Третий центральный момент μ³ описывает симметрию распределения, через него вводится показатель асимметрии в виде

.

14. Биномиа́льное распределе́ние

в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна .

Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром , то есть при каждом величина принимает значения («успех») и («неудача») с вероятностями и соответственно. Тогда случайная величина

имеет биномиальное распределение с параметрами и . Это записывается в виде:

.

Случайную величину обычно интерпретируют как число успехов в серии из одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании.

Функция вероятности задаётся формулой:

где

— биномиальный коэффициент.

Функция распределения[править | править исходный текст]

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

,

где обозначает наибольшее целое, не превосходящее число , или в виде неполной бета-функции:

.

Моменты[править | править исходный текст]

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

,

откуда

,

,

а дисперсия случайной величины.

.

Свойства биномиального распределения[править | править исходный текст]

Пусть и . Тогда .

Пусть и . Тогда .

Связь с другими распределениями[править | править исходный текст]

Если , то, очевидно, получаем распределение Бернулли.

Если большое, то в силу центральной предельной теоремы , где — нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией .

Если большое, а — фиксированное число, то , где — распределение Пуассона с параметром .

Если случайные величины и имеют биномиальные распределения и соответственно, то условное распределение случайной величины при условии – гипергеометрическое .

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Формулировка[править | править исходный текст]

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие наступит раз в независимых испытаниях, равна: , где .