![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
.
Формула (1.32) упрощает вычисление дисперсии.
Следующие свойства приводятся без доказательства.
4. Дисперсия суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
.
5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
.
1.2.8. Моменты
Математическое ожидание, определение которого было дано в предыдущем параграфе, называется еще моментом, а точнее, начальным моментом первого порядка случайной величины. Этот момент обозначается μ и называется еще средним, или генеральным средним.
Определение. Начальным моментом r-го порядка дискретной случайной величины называется
![]() | (1.33) |
для r = 1, 2,...
Определение. Начальным моментом r-го порядка для непрерывной случайной величины называется
![]() | (1.34) |
Термин "момент" пришел из физики. Если p (x) является точкой масс, действующей перпендикулярно оси Х на расстоянии х от начала координат, то является "центром тяжести масс", т. е. первый момент, деленный на
. Математическое ожидание
обозначается μ.
Определение. Центральным моментом порядка r для дискретной случайной величины называется величина
![]() | (1.35) |
где μ - математическое ожидание.
Определение. Центральным моментом порядка r для непрерывной случайной величины называется величина
![]() | (1.36) |
Дисперсия является центральным моментом второго порядка для случайной величины, обозначаемым D [ X ], σ2 или var(X).
Третий центральный момент μ3 описывает симметрию распределения, через него вводится показатель асимметрии в виде
![]() |
14. Биномиа́льное распределе́ние
в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна
.
Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром
, то есть при каждом
величина
принимает значения
(«успех») и
(«неудача») с вероятностями
и
соответственно. Тогда случайная величина
имеет биномиальное распределение с параметрами и
. Это записывается в виде:
.
Случайную величину обычно интерпретируют как число успехов в серии из
одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха
в каждом испытании.
Функция вероятности задаётся формулой:
где
— биномиальный коэффициент.
Функция распределения[править | править исходный текст]
Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:
,
где обозначает наибольшее целое, не превосходящее число
, или в виде неполной бета-функции:
.
Моменты[править | править исходный текст]
Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:
,
откуда
,
,
а дисперсия случайной величины.
.
Свойства биномиального распределения[править | править исходный текст]
Пусть и
. Тогда
.
Пусть и
. Тогда
.
Связь с другими распределениями[править | править исходный текст]
Если , то, очевидно, получаем распределение Бернулли.
Если большое, то в силу центральной предельной теоремы
, где
— нормальное распределение с математическим ожиданием
и дисперсией
.
Если большое, а
— фиксированное число, то
, где
— распределение Пуассона с параметром
.
Если случайные величины и
имеют биномиальные распределения
и
соответственно, то условное распределение случайной величины
при условии
– гипергеометрическое
.
Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.
Формулировка[править | править исходный текст]
Теорема. Если вероятность наступления события
в каждом испытании постоянна, то вероятность
того, что событие
наступит
раз в
независимых испытаниях, равна:
, где
.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 225 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!