Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов

Пусть , h>0, i=0, …, n

Определение 2. 1. Величина называется конечной разностью первого порядка.

2. Величина

называется конечной разностью второго порядка.

................

n. Величина называется конечной разностью n-го порядка.

Лемма 1. Для равноотстоящих узлов между разделенными и конечными разностями существует следующая связь:

, k = 0, 1, … (17)

По индукции: k=0 – очевидно; k=1

- верно.

Пусть (17) установлено для номера k. Докажем, что тогда оно верно и для номера (k+1).

(k+1):

Т.о., установлено, что (17) верно для "kÎ{0, 1, …,n}.

Лемма 2. Пусть задана сетка равноотстоящих узлов на отрезке [a,b]:

a £ x₀ < x₁ <…< x_n < x_n+1 £ b, x_k = x₀ + hk, k = 0, 1, …, n+1

и .Тогда существует точка такая, что

(18)

По индукции:

k=1:

k=2:

………………………………… и т.д.

k=n+1: .

Установим теперь вид многочлена Ньютона для равноотстоящих узлов.

Введем переменную . Очевидно, что , если

x-x_k=h(q-k), k = 0, 1, …, n.В формуле полинома Ньютона (9) выразим все разности (x-x_k) через q и все разделенные разности по формуле (17):

(19)

Оценим погрешность формулы Ньютона (19).Из формул остаточного члена (4) и (5) с учетом леммы 2, , , и так далее.