Интерполяционный многочлен Ньютона

Рассмотрим многочлен n -ой степени вида (9)

Теорема 3. Многочлен (9) является интерполяционным для f(x) на сетке узлов , т.е. , i=0, 1,…, n (10)

Рассмотрим разделенные разности многочлена Лагранжа : . (11)

Числитель в (11) – многочлен n -ой степени, обращающийся в 0 в т. . Следовательно, по теореме Безу числитель в (11) делится без остатка на , а, следовательно, -многочлен (n-1) -ой степени.

Из (11) находим . (12) Далее . (13) Числитель в (13) – многочлен степени (n-1) обращается в 0 при ,следовательно, делится на без остатка, Þ L_n (x, x₀, x₁) - многочлен (n-2)-ой степени.Из (12) с учетом (13) находим

. (14)

Продолжая таким же образом далее и учитывая, что (n+1) - ая разделенная разность

L_n(x, x₀, …, x_n) º 0, окончательно находим

(15)

Но по условию теоремы - интерполяционный многочлен для f(x), т.е. , i=0, 1,…, n. Следовательно, все разделенные разности для и f(x) совпадают, поэтому (15) можно переписать

(16)

т.е. получаем представление (9), что и требовалось доказать.

Замечание 1. Мы получили другую форму представления интерполяционного многочлена Лагранжа. Многочлен (9) называется интерполяционным многочленом Ньютона и обозначается также - .

Замечание 2. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа содержит значения в явном виде. Это удобно, когда необходимо построить интерполяционный многочлен на тех же узлах, но для другой функции – g(x). Тогда значения достаточно заменить на .Многочлен в форме Ньютона содержит неявно (через разделенные разности).Однако, он удобен, когда для той же функции f (x) необходимо увеличить порядок n. Тогда к исходному многочлену достаточно добавить несколько членов стандартного вида.