Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1. Многочлен Pn(x) ортогонален любому алгебраическому многочлену m-ой степени Mm(x) при m<n.
Mm(x) можно единственным образом представить в виде линейной комбинации многочленов Лежандра:
(10)
Равенство (10) тождественное, поэтому коэффициенты ak единственным образом вычисляются путем приравнивания коэффициентов при старших степенях. Умножая обе части (10) на Pn(x), имеем
в силу ортогональности системы
2. Полином Pn(x) имеет на отрезке [-1,1] ровно n действительных и различных корней.
Заметим, что в силу теоремы Гаусса многочлен Pn(x) не может иметь более чем n корней (вообще говоря, комплексных). Пусть Pn(x) имеет меньше, чем n простых действительных корней. Обозначим их По этим точкам построим фундаментальный многочлен
Рассмотрим многочлен: - многочлен степени (k+n), который имеет нули четной кратности. Значит, новый многочлен сохраняет знак при переходе через эти нули, т.е. сохраняет знак на [-1,1]. Отсюда следует, что
Но это противоречит свойству 1, так как Pn(x) обязательно должен быть ортогонален Mk(x).
3. Между двумя соседними нулями многочлена Pn(x) лежит ровно один нуль многочлена Pn-1(x).
Доказывается по индукции с помощью рекуррентного соотношения (6).
4. При n- четном многочлен Pn(x) – четная функция от x, при n- нечетном, Pn(x) – нечетная функция от x.
13. Многочлены Чебышева, их свойства.
Определение. На отрезке [-1,1] определим многочлены Чебышева: (1)
Найдем несколько первых многочленов Чебышева по формуле (1):
Далее используем формулу тригонометрии:
(2)
Полагая в (1) и подставляя в (2), получаем: (3)
Формула (3) – рекуррентная формула для полиномов Чебышева. Из (3) в частности следует, что - многочлен n -ой степени. Последовательно получаем: и т.д.
Свойства многочленов Чебышева.1. Система ортогональна на отрезке [-1,1] с весом .
Имеем:
в силу ортогональности системы на отрезке [0, ].Вычислим норму:
.
2. Для четных (нечетных) n многочлен Tn (x) содержит только четные (нечетные) степени х, то есть является четной (нечетной) функцией. Доказывается по индукции с помощью рекуррентной формулы (3). 3.Коэффициент при старшей степени xn многочлена Tn (x) равен 2n-1. Доказывается по индукции с помощью рекуррентной формулы (3).
4.Многочлен Tn (x) имеет на интервале (-1, 1) ровно n различных действительных корней, определяемых формулой: (4)
1. , причем максимум достигается в точках (5)
При этом . Из определения (1) следует, что для любого . Очевидно, что .
Замечание. Нетрудно убедиться, что нули Tn (x) (формула (4)) и точки максимума полинома Tn (x) (формула (5)) образуют чередующуюся последовательность, а именно:
, а для остальных значений: , или
2. Многочлен среди всех многочленов n -ой степени с an =1
обладает тем свойством, что .
Доказывается от противного: пусть существует , что
. (6)
Разность () -многочлен (n -1)-ой степени, причем в силу (6) .
Кроме того, заметим, что в силу (6) для .
Рассмотрим разность
При переходе от к разность меняет знак. Всего произойдет n раз смена знака
при переходе от точки к точке . Отсюда следует, что многочлен имеет n нулей на (-1;1), что невозможно, так как это многочлен (n -1)-ой степени.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 373 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!