Первые применения многочленов Чебышева

к задаче интерполяции.

Задача. Оптимизировать интерполяцию полиномом Лагранжа с помощью выбора узлов интерполяции. Как выбрать узлы, чтобы минимизировать погрешность интерполяции?

Решение. Пусть [ a, b ]=[-1;1]. Как известно (из лекции 2) погрешность интерполяции оценивается с помощью остаточного члена: . В лекции 2 была получена оценка: , где ,

- многочлен (n +1)-ой степени, с коэффициентом , построенный по узлам { x_n }, являющимся его нулями.

Имеем: .Согласно свойству 6:

а в силу свойства 5:если выбрать узлы интерполяции в точках , то и достигается в точках .Но так как многочлен построен по тем же нулям, что и , и имеет коэффициент a_n+1 =1, то .Отсюда следует, что - наименьшее значение по сравнению с любыми другими вариантами выбора узлов интерполяции. Вывод: выбор узлов интерполяции в качестве нулей полинома является оптимальным по точности интерполяции многочленом L_n(x).

Замечание. Для интерполяции на произвольном конечном отрезке [ a;b ] предварительно нужно сделать замену переменной: .и преобразовать ф-лу для узлов.

1.9. Равномерное приближение функций на отрезке. Пусть -пространству непрерывных на отрезке [ a, b ] функций.Введем норму: .Расстояние между элементами f и g, принадлежащих пространству С, порожденное данной нормой, вычисляется следующим образом: .

Введенные таким образом норма и расстояние удовлетворяют всем необходимым свойствам.Пусть - система многочленов.Обозначим - многочлен n -ой степени. Задача приближения функции в метрике С многочленами n -ой степени допускает 2 постановки: 1. Аппроксимация с заданной точностью: по заданному найти такой многочлен , что . (7)

2. Найти многочлен наилучшего равномерного приближения, то есть , (8) где M_n - семейство многочленов n -ой степени.

Рассмотрим простейший вариант решения задачи 1-ого типа.

Пусть отрезок [ a,b ]=[-1;1] и f (x) достаточно гладкая функция, например, . Тогда найдется такое n (такая степень интерполяционного полинома), что выполняется (7).

Покажем решение подобной задачи на примере.

Пример 1. Пусть Приблизить функцию f(x) многочленом n-ой степени так, чтобы выполнялось условие

Установить порядок полинома, реализующего данное условие.

Очевидно, что для данной f(x) существуют производные любого порядка на [-1,1]. В качестве аппроксимирующего полинома возьмем полином Лагранжа L_n(x), построенный по нулям полинома Чебышева T_n+1(x).В силу свойств полинома Чебышева, имеем следующую оценку остаточного члена:

Вычисляя производные заданной функции f(x), последовательно получаем:

Отсюда получаем оценку

Учитывая, что

достаточно выбрать порядок полинома Лагранжа L_n(x) из условия:

Нетрудно убедиться, что n=4 удовлетворяет поставленному условию.

Следовательно полином Лагранжа L₄(x), построенный по нулям полинома Чебышева T₅(x), аппроксимирует функцию c заданной точностью.

Для произвольной f (x) (не достаточно гладкой) задача 1 решается уже не так просто.

Заметим, что характер близости в норме С сильно отличается от среднеквадратической близости (в норме L₂), что демонстрирует следующий пример.

Пример 2. Пусть f(x) - кусочно-линейная на отрезке [ a,b ] – изображена на рисунке.

, .

Показать, что при и .

Решение. самостоятельно или на семинаре. Вывод: при , то есть среднеквадратическая близость не гарантирует близости в норме С.

С другой стороны, очевидно, что если, например,

.

Таким образом, близость в норме С более жесткое условие, чем близость в норме L₂.

15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.

Пусть требуется вычислить интеграл: ,(1)где - весовая функция (абсолютно интегрируема на с весом r(x))

Рассмотрим сначала случай .

Определение. Квадратурной формулой n-го порядка для интеграла (1) называется выражение вида: ,(2)где - веса квадратурной формулы, - узлы, ( узел), -остаточный член квадратурной формулы. Начнем с рассмотрения простого примера.

Пример 1. Пусть , - строго выпукла на этом отрезке, ,().Заменим константой на . Как ее выбрать? (т.е. приблизить функцию полиномом нулевой степени Q₀(x)).1) Положим см. рисунок. Площадь -формула прямоугольника.

2) - что лучше?

3) Выберем таким образом, чтобы , причем min в классе функций. Первый подход связан с приближением функции интерполяционным многочленом. Это наиболее простой путь получения квадратурных формул. Рассмотрим этот подход наиболее подробно. Положим , (3) где - многочлен Лагранжа, построенный по узлам , выбираемых пока произвольно. Как известно из теории интерполяции (Л-2) , где (4)

(5)

- фундаментальные полиномы Лагранжа. Остаточный член интерполяционной формулы имеет вид (Л-2): , где

Из (3) и (4) (6)

Проинтегрируем формулу (6) по

Обозначим , (7) (8)

(7)-веса, (8)-остаточный член квадратурной формулы, интегралы в (7) легко вычисляются, как интегралы от полиномов. Рассмотрим некоторые частные случаи.

n=0 Нужна одна точка (узел) .Если используя формулы (5) и (7), получим формулу прямоугольников типа 1) из примера 1. Заметим, что исследование остаточного члена в виде (8) не совсем удобно, так как необходимо уточнить точку , которая определяется в соответствии с теоремой о среднем. Будем оценивать остаточный член по модулю: , (9) где .

Пример. Получить оценку остаточного члена для формулы прямоугольников.

Самостоятельно. Перейдем к выводу квадратурной формулы порядка 1.

n= 1Узлы: . Согласно формулам (5), имеем

По формуле (7)

– формула трапеций (10)

Площадь под кривой y = f (x) приближается с помощью формулы - площадь трапеции.Геометрическая иллюстрация.

Оценим остаточный член формулы трапеций:

(11)