Пример 1. Построить интерполяционный многочлен второго порядка L2(x) в узлах

Пусть , [ a,b ] - отрезок [100,144].

Построить интерполяционный многочлен второго порядка L₂ (x) в узлах

, , .

Оценить погрешность интерполяции в т. x= 116 и на всем отрезке [ a,b ].

,

,

,

.

6. Конечные разности.

Определение 1. Пусть - сетка узлов, - значения функции f(x) в узлах

: значения называются разделенными разностями нулевого порядка функции f(x) : значения называются разделенными разностями первого порядка функции f(x). : значения называются разделенными разностями второго порядка функции f(x)...................................... : значения называются разделенными разностями n–го порядка функции f(x).

Простейшие свойства разделенных разностей.1. f(x₀, x₁, …, x_k) – симметричная функция своих аргументов, т.е. не меняется при любой перестановке аргументов.

Заметим, что любая разделенная разность есть линейная функция своих аргументов.

f(x₀, x₁, …, x_k) = . (устанавливается по индукции) => результат.

2.Если f(x)=P_n(x) – многочлен n-ой степени, то разделенные разности порядков ³ (n+1) равны нулю.

Заметим, что P_n(x, x₀) многочлен (n-1)-ой степени,

P_n(x, x₀, x₁) многочлен (n-2)-ой степени,

………………………………………………

P_n(x, x₀, x₁, …, x _n-1) - многочлен 0-ой степени (т.е. const),

P_n(x, x₀, x₁, …, x _n) º 0.

………………………………………………