Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Обычно при вычислении с плавающей запятой число X представляется в нормализованном виде. ,где f - мантисса числа X, ,
а - основание системы счисления (а =2,8,10 и т.д.), L – порядок числа, .
Кроме того, , - цифра в k-ом разряде дробного числа, .
t – порядок числа - число используемых значащих цифр (характеристика вычислительного устройства).
Определение 3. Пусть число X записано в позиционной системе счисления. Значащими называются все цифры, начиная от первой слева не равной 0.Если число значащих цифр в представлении X превосходит t, то происходит округление.Ошибки округления распространяются дальше при выполнении арифметических операций.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Абсолютная погрешность суммы.
Пусть , . Тогда
, где .
Т.к. , то , т.е. предельные абсолютные ошибки складываются.
Пример 2. То же самое для разности. Предельные максимальные абсолютные погрешности аналогично складываются.
Пример 3. Относительные погрешности произведения.
, где ,
, где
.
Считаем, что последнее слагаемое имеет второй порядок малости по сравнению с первыми двумя, и им пренебрегаем.
, ,
тогда получаем , т.е. .
При умножении относительные максимальные ошибки приближенно складываются.
Пример 4. Деление.
При делении относительные максимальные ошибки также складываются.
4. Понятие близости в метрическом пространстве.
Определение 1. Множество X элементов произвольной природы (не обязательно числовое множество) называется метрическим пространством, если любой паре элементов поставлено в соответствие число , (метрика, или расстояние) в соответствии с аксиомами:А1. тогда и только тогда, когда x=y. А2. .
А3. – неравенство треугольника.
Определение 2. Говорят, что последовательность элементов метрического пространства X сходится к элементу , если .
Определение 3. Последовательность элементов метрического пространства X называется фундаментальной, если .
Определение 4. Метрическое пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к некоторому элементу этого пространства. З амечания.1 Не любое метрическое пространство является полным.
Например, множество всех рациональных чисел с метрикой не является полным, т.к., скажем, последовательность - фундаментальная, но - иррациональное число.2 Сходимость большинства итерационных процессов удается доказать только в полном метрическом пространстве, следовательно, полнота играет важную роль в числовом анализе.
Определение 5. Множество X называется нормированным линейным пространством, если
- оно является линейным пространством, т.е. в нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число с известными свойствами.
- любому элементу поставлено в соответствие число (норма x), удовлетворяющее аксиомам:А1. ,А2.
- А3. – неравенство треугольника.
Замечание. Любое нормированное линейное пространство X можно считать метрическим, введя метрику по формуле . (1)
Если последовательность нормированного пространства X сходится в смысле метрики (1), то говорят о сходимости по норме пространства X.
Нетрудно убедиться, что для метрики (1) выполняются все аксиомы метрики.
Приведем некоторые примеры классов функций и соответствующих линейных пространств.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 188 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!