Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств

Пример 1. Множество всех функций, заданных на отрезке [ a, b ] и имеющих на нем непрерывные производные до k -го порядка включительно, называется классом .

Пример 2. При k=0 получаем класс - множество непрерывных на отрезке [ a, b ] функций. Если на ввести норму по формуле

, (2)

то получим линейное нормированное пространство C [ a,b ] (операции сложения и умножения на число вводятся обычным образом f+g=f (x) +g (x), ).

Аксиомы А1, А2 – очевидно, выполняются. В справедливости А3 нетрудно также убедиться с помощью свойств модуля и теоремы Вейерштрасса.

Замечания. Норму в классе можно ввести не единственным образом.

Например, . (3)

1. Сходимость последовательности по норме (2) – это равномерная сходимость, т.е. последовательность сходится к f - это то же самое, что

- это равномерная сходимость.

Пространство C [ a,b ] с нормой (2) является полным в силу теоремы мат. анализа: равномерно сходящаяся последовательность в замкнутой области сходится к непрерывной функции.

Пример 3. Множество всех функций, p -я степень модуля которых интегрируема на отрезке [ a, b ], называется линейным нормированным пространством , если на нем введена норма по формуле . (4)

Сходимость по норме (4) называется сходимостью в среднем (при p=2 - среднеквадратичная сходимость).

Замечание. Пусть , тогда .

,

.

Отсюда следует, что из сходимости последовательности по норме C следует ее сходимость по норме , но не наоборот.

Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.

Задана функция y(x), некоторый класс функций X и некоторая норма, или метрика.

Найти функцию , такую что .

Чаще всего используются нормы и , такие что

, (равномерное приближение)

. (среднеквадратичное приближение)

Задача приближения полиномами.

Пусть класс X состоит из функций вида ,

где - заданная последовательность функций.

Например, при получаем задачу приближения алгебраическими полиномами. При или - тригонометрическими полиномами и т.п.

Тригонометрическими функциями приближаем, когда строим ряды Фурье.

5. Интерполяция.

Общая задача интерполяции. Пусть f(x) – определена на [a,b] и принадлежит некоторому классу .Задана сетка узлов a £ x₀ < x₁ <…< x_n £ b.

Требуется построить функцию ,линейную относительно функций j _k(x) и такую, что выполняется условие , (1)

причем, система {j_k(x)}_{k=0, …, n} линейно независима.Выбор системы {j_k(x)} определяется классом функций f(x).Частный случай – интерполяция многочленами:

{j_k(x)} = {x^k}, k = 0, 1, …, n

Пусть L_n(x) – искомый интерполяционный многочлен n-ой степени.Должно выполняться условие: .(2)Определитель системы (2) называется определителем Вандермонда. .

Замечание 1. Система (2) плохо обусловлена, в связи с чем, ее численное решение затруднительно. Понятие плохой обусловленности будет подробно рассмотрено в лекции 11.

Поэтому интерполяционный полином находят другим способом.

Найдем частные полиномы , обладающие свойством .

В качестве таких полиномов можно взять

.

Тогда полином , обладающий свойством , можно записать в виде (3) Очевидно, - полином n -го порядка, или n -ой степени. Полученный таким способом полином называют интерполяционным полиномом Лагранжа.

Подведем некоторые итоги. Итак, поставленная задача интерполяции функции y(x) на сетке узлов алгебраическим полиномом n -ой степени решается с помощью интерполяционного полинома Лагранжа (3).

Теорема 1. Полином - единственное решение задачи (2).

Пусть существует другой полином такой, что .

Поскольку и полиномы степени n, то - - полином степени , причем в узлах интерполяции разность

Но полином степени не может иметь (n+1) корней, следовательно,

= - единственный полином Лагранжа.

Существуют и другие формы представления помимо (3).

Рассмотрим погрешность аппроксимации функции y(x) с помощью полинома .

Теорема 2. Пусть функция , , (максимум существует, т.к. (n+1) –я производная непрерывна, следовательно, максимум достигается на отрезке [ a,b ]). Пусть задана сетка узлов , - интерполяционный полином Лагранжа. Тогда для погрешности интерполяции справедливы оценки: , (4)

, (5) где - специальный полином (n+1)-ой степени. (6)

Запишем y(x) в виде: , (*)где - погрешность интерполяции в точке xÎ[a,b]. Очевидно, что , i=0, 1,…, n (7)

С учетом (7) можно искать в виде .Зафиксируем ,

Рассмотрим функцию . (8)Очевидно, обращается в 0 в (n+2) -х точках t=x: (см. (*))

: , (см. (6)) i=0,1,2…n

По теореме Ролля на интервале (a,b) существует, по крайней мере, (n+1) точка, в которой обращается в 0.

По теореме Ролля на интервале (a,b) существует, по крайней мере, n точек, которых .

И так далее…Существует, по крайней мере, одна точка такая, что .

Учитывая, что ,

и дифференцируя (n+1) раз формулу (8) по t в точке получим ,

.

Поэтому .

Отсюда следуют (4) и (5).