Предел функции по Коши. Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взято

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .^[1]

Теорема (единственность предела) Если функция f в точке а имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство: метод от противного lim x → af (x)= b,lim x → af (x)= c, b /= c. Возьмем ε=∣ b − c ∣, по определению и свойству окрестности найдется выколотая окрестность т. а Uo (a,δ), в которой одновременно будут выполняться неравенства ∣ f (x)− b ∣<2∣ b − c ∣∣ f (x)− c ∣<2∣ b − c ∣, тогда в точках этой же окрестности ∣ b − c ∣=∣(b − f (x))+(f (x)+ c)∣≤∣ f (x)− b ∣+∣ f (x)− c ∣<2∣ b − c ∣+2∣ b − c ∣=∣ b − c ∣ противоречие (от неправильно допущения)

7. Бесконечные пределы. Пределы функции при х ® + - ¥. Дать определения и геометрическую иллюстрацию.