Свойства ограниченных последовательностей

· Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.

· Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.

· Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.

· У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.

· Для любого наперёд взятого положительного числа все элементы ограниченной числовой последовательности , начиная с некоторого номера, зависящего от , лежат внутри интервала .

· Если за пределами интервала лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности , то интервал содержится в интервале .

· Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Необходимое условие сходимости числовой последовательности: для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была, ограниченной.

Доказать, что для сходимости числовой последовательности необходимо, а в случае ее ограниченности - и достаточно, чтобы ее предельное множество было одноточечным.

В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности пространство R вещественных чисел полное.

Один из стандартных методов доказательства сходимости числовой последовательности состоит в том, что сначала устанавливается существование хотя бы одной предельной точки, а затем - ее единственность.