![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Производная для комплексной функции одного аргумента определяется так же, как и для вещественной:
(здесь — комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой или голоморфной. При этом
Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент
и определяет их жёсткую взаимосвязь (условия Коши — Римана):
Отсюда следует, что дифференцируемости компонент и
недостаточно для дифференцируемости самой функции.
Более того, имеют место следующие свойства, отличающие комплексный анализ от вещественного:
§ Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз и аналитична, то есть её ряд Тэйлора сходится к данной функции во всех точках этой окрестности (в литературе наряду с термином аналитическая функция используется также его синоним «голоморфная функция»).
§ (Теорема Лиувилля): Если функция дифференцируема на всей комплексной плоскости и не является константой, то её модуль не может быть ограничен.
§ Обе компоненты дифференцируемой комплексной функции являются гармоническими функциями, то есть удовлетворяют уравнению Лапласа:
§ Любая гармоническая функция может быть как вещественной, так и мнимой компонентой дифференцируемой функции. При этом другая компонента определяется однозначно (из условий Коши — Римана), с точностью до константы-слагаемого.
Таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция — это функция вида , где
— взаимосвязанные гармонические функции двух аргументов.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 177 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!