Определение. Производная для комплексной функции одного аргумента определяется так же, как и для вещественной:

Производная для комплексной функции одного аргумента определяется так же, как и для вещественной:

(здесь — комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой или голоморфной. При этом

Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент и определяет их жёсткую взаимосвязь (условия Коши — Римана):

Отсюда следует, что дифференцируемости компонент и недостаточно для дифференцируемости самой функции.

Более того, имеют место следующие свойства, отличающие комплексный анализ от вещественного:

§ Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз и аналитична, то есть её ряд Тэйлора сходится к данной функции во всех точках этой окрестности (в литературе наряду с термином аналитическая функция используется также его синоним «голоморфная функция»).

§ (Теорема Лиувилля): Если функция дифференцируема на всей комплексной плоскости и не является константой, то её модуль не может быть ограничен.

§ Обе компоненты дифференцируемой комплексной функции являются гармоническими функциями, то есть удовлетворяют уравнению Лапласа:

§ Любая гармоническая функция может быть как вещественной, так и мнимой компонентой дифференцируемой функции. При этом другая компонента определяется однозначно (из условий Коши — Римана), с точностью до константы-слагаемого.

Таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция — это функция вида , где — взаимосвязанные гармонические функции двух аргументов.