Формула Тейлора. Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

§ Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки , § Пусть § Пусть — произвольное положительное число, тогда: точка при или при :

При использовании рядов, называемых рядами Маклорена (=Макларена), смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Теорема Маклорена (ряд Маклорена (=Макларена)) имеет вид:

1) , где f(x) - функция, имеющая при а=0 производные всех порядков. R_n - остаточный член в ряде Маклорена (=Макларена) (Тейлора при а=0)определяется выражением

2)

k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

Разложение в ряд Маклорена

1) Определяем производные иначе выражаясь, , записываем ряд Маклорена для ,

2) Находим интервал сходимости:

для ряда характерна абсолютная сходимость на промежутке .

3) Представим в форме Лагранжа (30.9):

(30.11)

Функция монотонно возрастает, следовательно Учитывая то, что (30.10), в соответствии с признаком необходимости имеем

получается, что формула (30.11) является прооизведением ограниченной функции на б.м., следовательно .