Определение аналитической функции комплексной переменной, свойства

Аналити́ческая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Свойства

§ Арифметические свойства

Если и аналитичны в области

1. Функции , и аналитичны в .

2. Если в области не обращается в ноль, то будет аналитична в

3. Если в области не обращается в ноль, то будет аналитична в .

§ Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своей области аналитичности. Обратное в общем случае неверно.

Некоторые свойства аналитических функций близки к свойствам многочленов, что, впрочем, и неудивительно — определение аналитичности в смысле Вейерштрасса свидетельствует о том, что аналитические функции — в некотором роде предельные варианты многочленов. Допустим, согласно основной теореме алгебры любой многочлен может иметь нулей числом не более его степени. Для аналитических функций справедливо аналогичное утверждение, вытекающее из теоремы единственности в альтернативной форме:

§ Если множество нулей аналитической в односвязной области функции имеет в этой области предельную точку, то функция тождественно равна нулю.