Логарифмическая функция. Логарифмическая функция Lnz, при z 0 определяется как обратная к показательной функции, причем

Логарифмическая функция Ln z, при z 0 определяется как обратная к показательной функции, причем

Так как показательная функция – периодическая с периодом 2p i, то логарифмическая функция является многозначной. В каждой точке z 0 она принимает бесконечно много значений.

Функция

где arg z – главное значение аргумента, называется главным значением логарифмической функции. Итак,

Известные правила о логарифме произведения и частного сохраняют свою силу и для многозначного логарифма, а именно: при z ₁ и z ₂, отличных от нуля, верны формулы

6. Общая степенная функция:

, a C.

Эта функция многозначная, её главное значение равно .

При a =1/ n, n N получаем многозначную функцию – корень n -й степени из z:

7. Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим, являются многозначными и выражаются через логарифмическую.

Поясним сказанное на примере функций а) w= аrcsin z, б) w= аrth z.

a) Имеем по определению

Откуда

(Знаки ± в формуле решения квадратного уравнения можно опустить, если понимать корень как двузначную функцию).

Итак,

б) По определению w= аrth z Û z= th w. Откуда получаем

Таким образом, .

Для остальных обратных тригонометрических функций выполняются формулы: