Пример. Найти сумму степенного ряда

Найти сумму степенного ряда

1 - х + х² -... + (-1)ⁿ xⁿ +....

Это ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, у которой b₁=1, q= -x. Следовательно, его сумма есть функция . Ряд сходится, если |x|<1. Поэтому равенство

cправедливо лишь для значений х (-1; 1), хотя функция определена для всех значений х, кроме х= -1.

Можно доказать, что сумма степенного ряда S(x) непрерывна и дифференцируема на любом отрезке [a, b] внутри интервала сходимости.

Равенство (10.2), справедливое в интервале сходимости степенного ряда, называют разложением S(x) в степенной ряд.

Для степенных рядов справедливы следующие утверждения: