Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Определение

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

Ряд Маклорена (=Макларена) это ряд Тейлора в окрестности точки а=0.

Ряды Маклорена некоторых функций

Экспонента:

§ Натуральный логарифм:

для всех

§ Квадратный корень:

для всех

для всех

§ Конечный геометрический ряд:

для всех

§ Тригонометрические функции:

для всех где — Числа Бернулли

для всех где — Числа Бернулли

для всех

для всех