Дифференцируемость, условия Коши-Римана дифференцируемости функции комплексной переменной

Условия Коши — Римана, называемые также условиями д’Аламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного

Производной функции в точке (обозначается как или ) называется предел разностного отношения:

(20)

если он существует и не зависит от способа устремления к нулю. Последнее требование явно указано с целью еще раз подчеркнуть отличия по отношению к функциям действительной переменной, хотя, как правило, оно не приводится, так как относится к определению комплексного аналога предела. Требование дифференцируемости в точке накладывает важные условия на свойства ее действительной и мнимой частей и их производных, которые должны подчиняться соотношениям:

(21)

если и , которые называются условиями Коши-Римана. На основе (20) и (21) можно получить явные формулы дифференцирования функций комплексной переменной:

(22)

Пример 2-4. Найти все точки, в которых дифференцируемы функции :

1). 2). 3). .