Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11).

▼Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла MOB через х (см. рис. 113).

Пусть 0<х<p /2. На рисунке |АМ|=sinx, дуга MB численно равна центральному углу х, |ВС|=tgx. Очевидно, имеем S_DMOB <S_{сектораMOB}<S_{D COB.} На основании соответствующих формул геометрии получаем ½sinx<½x<½tgx. Разделим неравенства на ½sinx>0, получим 1<x/sinx<1/cosx или cosx<sinx/x<1. Так как limcosx=1 и lim1=1 при х–>0, то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

Пусть теперь х < 0. Имеем

Где –x>0. Поэтому

Из равенств (17.12) и (17.13) вытекает равенство (17.11). ▲

<< Пример 17.6

Решение: Имеем неопределенность вида . Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим 3х=t; тогда при х→0 и t→0, поэтому

<< Пример 17.7