Основные теоремы о пределах. Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда х→x₀ и х→∞, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы limƒ(х), limφ(х) существуют при Х→Хо

Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Следствие 17.3. Функция может иметь только один предел при х→х_о.

Пусть
По теореме 17.7 имеем:

Отсюда А-В=0, т. е. А=В.

Теорема 17.8. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так как

где α(х) и ß(х) — б.м.ф. Следовательно,

Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому

Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.

Следствие 17.4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
▼
▲

Следствие 17.5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств

Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел.

Рассмотрим примеры:

<< Пример 17.3

Вычислить

Решение:

<< Пример 17.4

Вычислить

Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при х→2, равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на х-2≠0 (х→2, но х¹2):

<< Пример 17.5

Вычислить

Решение: Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на х²:

Функция 2+3/х+1/х² есть сума числа 2 и б.м.ф.,поетому