Второй замечательный предел

Как известно, предел числовой последовательности

nєN, имеет предел, равный е (см. (15.6)):

Докажем, что к числу е стремится и функция

1. Пусть х→+∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами: n≤х<n+1, где n=[х]— это целая часть х. Отсюда следует

Если х→+∞, то n→∞. Поэтому, согласно (17.14), имеем:

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

2. Пусть х→-∞. Сделаем подстановку -х= t, тогда
Из равенств (17.16) и (17.17) вытекает равенство (17.15).

Если в равенстве (17.15) положить 1/x=а (а→0 при х→∞), оно запишется в виде

Равенства (17.15) и (17.18) называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция у=е^х называется экспоненциальной, употребляется также обозначение е^х=ехр(х).

<< Пример 17.8

Найти

Решение: Обозначим х=2t, очевидно, t→∞. при х→∞. Имеем

§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции