Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Теорема 17.5. Если функция ƒ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т. е. если limƒ(х)=А, при Х→Хо то ƒ(х)=А+а(х).

▼ Пусть

Следовательно,

т. е. |ƒ(х)-А-0|<ε. Это означает, что функция ƒ(х)-А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через α(х): ƒ(х)-А=α(х). Отсюда ƒ(х)=А+α(х).▲

Теорема 17.6 (обратная). Если функцию ƒ(х) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции α(х), то число А является пределом функции ƒ(х), т. е. если ƒ(х)=А+α(х), то lim ƒ(х)=А при Х→Хо

<< Пример 17.2

Доказать, что

Решение: Функцию 5+х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х-2 (при х→2), т. е. выполнено равенство 5+х=7+(х-2). Следовательно, по теореме 17.6 получаем