Признаки существования пределов

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция у = sin х при х®∞ предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функция ƒ(х) заключена между двумя функциями φ(х) и g(х), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если

то

▼Из равенств (17.6) вытекает, что для любого ε>0 существуют две окрестности δ₁ и δ₂ точки х_о, в одной из которых выполняется неравенство |φ(х)-А|<ε, т. е.

-ε<φ(х)-А<ε, (17.8)

а в другой |g(х)-А|<ε, т. е.

-ε<g(х)-А<ε. (17.9)

Пусть δ — меньшее из чисел δ₁ и δ₂. Тогда в δ-окрестности точки x₀ выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9).
Из неравенств (17.7) находим, что

φ(x)-A≤f(x)-A≤g(x)-A (17.10)

С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства -ε<ƒ(х)-А<ε или |ƒ(х)-А|<ε.
Мы доказали, что

" ε>0 $ δ>0 " x: 0<|х-х₀|<δ Þ |ƒ(х)-А|<ε,
то есть lim ƒ(х)=А при х –> x₀.

Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции φ(х) и g(х), функция ƒ(х) «следует за милиционерами»▲

Теорема 17.11(о пределе монотонной функции). Если f(x) монотонна и ограничена при х<х_о или при х>х_о, то существует соответственно ее левый предел или ее правый предел

Доказательство этой теоремы не приводим.

Следствие 17.6. Ограниченная монотонная последовательность x_n, nєN, имеет предел.