Вычисление пределов

Для раскрытия неопределённостей вида 0/0 часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sinx~х при х→0, tgx~х при х→0. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.

<< Пример 18.6

Покажем, что 1—cosx~х²/2 - при х→0.

Решение:

<< Пример 18.7

Найдем

Решение: Обозначим arcsinх=t. Тогда х=sint и t→0 при х->0.

Поэтому

Следовательно, arcsin х~х при х→0.

<< Пример 18.8

Покажем, что при х→0.

Решение: Так как

то при х→0.

Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:

1. sinx~х при х→0;
2. tgx~х (х→0);
3. arcsinх ~ х (х→0);
4. arctgx~х (х→0);
5. 1-cosx~x²/2 (х→0);
6. е^х-1~х (х→0);
7. α^х-1~х*ln(a) (х→0);
8. ln(1+х)~х (х→0);
9. log_a(l+х)~х•log_aе (х→0);
10. (1+х)^k-1~k*х, k>0 (х→0);

<< Пример 18.9

Найти

Решение: Так как tg2x~2x,sin3x~3х при х→0, то

<< Пример 18.10

Найти

Решение: Обозначим 1/х=t, из х→∞ следует t→0. Поэтому

<< Пример 18.11

Найти

Решение: Так как arcsin(x-1)~(х-1) при х→1, то