Теорема 17.2 Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая

▼ Пусть функция ƒ(х) ограничена при х→хо. Тогда существует такое число М>0, что

для всех х из δ₁-окрестности точки х_о. И пусть α(х)—б.м.ф. при х→x₀. Тогда для любого ε >0, а значит, и ε /М> 0 найдется такое число δ₂>О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-х_о|<δ₂, выполняется неравенство

Обозначим через δ наименьшее из чисел δ₁ и δ₂. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-х_о|<δ, выполняются оба неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, |ƒ(х)-α(х)|=|ƒ(х)|-|а(х)|<ε.

А это означает, что произведение ƒ(х)•α(х) при х→х₀ есть бесконечно малая функция.▲

Следствие 17.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы (17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема 17.3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема 17.4. Если функция α(х) — бесконечно малая (α¹ 0), то функция 1/α(х) есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция ƒ(х)— бесконечно большая, то 1/ƒ(х) — бесконечно малая.

А это означает, что функция 1/α(х) есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное α(х) утверждение.▲

Замечание: Доказательства теорем приводились для случая, когда х → хо, но они справедливы и для случая, когда х→∞.

<< Пример 17.1

Показать, что функция

при х→1 является бесконечно малой.