Бесконечно большая функция (б.б.ф.)

Функция у=ƒ(х) называется бесконечно большой при х→х₀, если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М.

Например, функция у=1/(х-2) есть б.б.ф. при х—>2.

Если ƒ(х) стремится к бесконечности при х→х_о и принимает лишь положительные значения, то пишут

если лишь отрицательные значения, то

Функция у=ƒ(х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х→∞, если для любого числа М>0 найдется такое число N=N(M)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>N, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М. Коротко:

Например, у=2х есть б.б.ф. при х→∞.

Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т. е. хєN, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность v_n=n²+1, n є N, является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки х_о является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у=хsinх.)

Однако, если limƒ(х)=А при х→x₀, где А — конечное число, то функция ƒ(х) ограничена в окрестности точки х_о.

Действительно, из определения предела функции следует, что при х→ х₀ выполняется условие |ƒ(х)-А|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х_о-ε; х_о+ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

§ 17. Бесконечно малые функции (б.м.ф.)