![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без доказательства признак существования предела последовательности.
Теорема 15.3 (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
В качестве примера на применение этого признака рассмотрим последовательность.
По формуле бинома Ньютона
Из равенства (15.3) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число 1/n — убывает, поэтому величины (1-1/n), (1-1/n),... возрастают.
Поэтому последовательность {хn} = { (1+1/n)n }— возрастающая, при этом
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (15.3) на единицу; правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5,..., стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
Поэтому
Итак, последовательность ограничена, при этом для "n є N выполняются неравенства (15.4) и (15.5):
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой е:
Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближенное значение зэавно 2,72 {е=2,718281828459045..). Число е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается ln(x), т. е. Ln(x)=logex. Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами. По определению логарифма имеем х=еln(x). Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10:
Пользуясь десятичными логарифмами, находим lge ≈ 0,4343. Значит, lgx ≈ 0,4343•ln(х). Из этой формулы следует, что ln(x) ≈ 1/0.4343 lg(x), т. е. Ln(х) ≈ 2,3026 lgx. Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами.
§ 16. Предел функции
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 1093 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!