Функциональные последовательности и ряды. Их сходимость и равномерная сходимость. Условия почленного дифференцирования и интегрирования. Степенные ряды

-функц-я последовательность (ФП), - функц-й ряд (ФР).

Опр. . - ФП.

1. Область определения ФП – множество Х, при котором Для любого : имеет смысл.

2. Область сходимостиФП – множество тех Х, при которых числовая последовательность - сходится.

3. называется предельной функцией, если для любого , т.е. .

4. называется равномерносходящейся к на множестве Х, равном-но сх-ся а , если .

5. Критерий равномерной сх-ти. равном-но сх-ся а .

6. Криткрий Коши (равномерной сх-ти). ФП равномерно на множестве Х стремится к некоторой предельной функции .

Опр. Ряд составленный из функций одной и той же переменной : , называется функциональным.

Опр. ФР называется равномерносходящимся на Х, если на этом множестве равномерно сходится последовательность его частичных сумм.

Критерий Коши равн-ой сх-ти ФР: - равн-но сх-ся .

Признаки равномерной сх-ти ФР:

1. Признак Веерштраса. ФР равномерно сх-ся в области Х, если существует такой сх-ся числовой ряд , что для всех значений , лежащих в этой области, имеет место неравенство .

2. Признак Дирихле. Пусть на Х частичный равномерно ограничен, а последовательность монотонна (т.е. ) при каждом и равномерно сх-ся к 0 на Х, тогда -равномерно сх-ся на Х.

3. Признак Абеля. Пусть -равномерно сх-ся, а монотонна при каждом и равномерно ограничена, тогда -равномерно сх-ся на Х.

Свойства функциональных рядов.

1. Почленное интегрирование

Теорема (для рядов): Пусть для любого , и пусть -равномерно сх-ся на к , тогда .

Теорема (для последовательности): Пусть для любого , и пусть -равномерно сх-ся на к , тогда .

2. Почленное дифференцирование

Теорема (для рядов): Пусть для любого существует производная , пусть равномерно сх-ся на Х к ,и пусть существует , тогда , .

Теорема (для последовательностей): Пусть для любого существует производная , пусть равномерно сх-ся на Х к ,и пусть существует , тогда , .