Ряд Тейлора

Пусть функция имеет производные любого порядка в окрестности точки . Для такой функции можно составить ряд:

.

Независимо от того, сх-ся или расходится этот ряд, он называется рядом Тейлора функции по степеням . Если , то соотч\ветствующий ряд называют рядом Маклорена.

Теорема1. Если функция имеет на отрезке производные любого порядка и остаточный член стремится к 0 при

на этом отрезке, то разлагается в сходящийся к ней ряд Тейлора на этом отрезке.

Теорема2. Если функция имеет на отрезке производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом , то остат-ный член на этом отрезке стремится при к 0.