Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций

1.

Эта функция бесконечно дифферкнцируема на . При этом

.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

, ,

где может быть положительным и отрицательным. На отрезке ,

.

Это показывает, что функция разлагается на в сходящитйся к ней ряд Тейлора по степеням (ряд Маклорена):

.

Но произвольное число, поэтому это равенство имеет место на всей действительной оси.

2.

Данная функция имеет производную любого порядка и

.

Поэтому по теореме2 функция разлагается в сходящийся к ней на ряд Тейлора по степеням :

.

3.

Совершенно аналогично можно получить, что

.

4.

Эта функция определена и сколько угодно раз дифференцируема для . Поэтому для нее формулу Тейлора можно написать для любого при . Так как

,

то формула Тейлора имеет вид

.

Используя формулы лагранжа и Коши остаточного члена можно показать, что . Поэтому функция разлагается в указанном промежутке в ряд Тейлора по степеням :

.

5.

Для этой функции

,

.

Формула Тейлора по степеням имеет вид

.

Можно доказать, что при любом : . Поэтому для любого действительного имеет место разложение функции в ряд Тейлора по степеням :

.