Системы линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Опр: Линейным алгебраическим уравнением относительно неизвестных x₁, x₂,…, x_n наз. уравнение вида: a₁x₁+ a₂x₂+…+a_nx_n=b_n.

Рассмотрим систему из m–уравнений с n–неизвестными.

(*)

эта система уравнений характеризуется матрицей

наз. расширенной матрицей системы.

Столбец (b₁,…,b_n) наз. столбец свободных членов.

Матрица левой части –матрицей системы.

Опр: Решением СЛАУ наз. любую упорядоченную систему действительных чисел l₁, l₂,…, l_n при условии, что каждое уравнение СЛАУ становится тождественным если: x₁=l₁,x₂=l₂,…, x_n=l_n.

Опр: Система (*) наз. совместимой если она имеет хотя бы одно решение (Не совместимой если нет решения).

Опр: Две СЛАУ наз эквивалентными если каждое решение 1-й системы является решением 2-й системы.

Лемма: Пусть существуют 2-е СЛАУ, которые характеризуются расширенными матрицами A и B, если от матрицы А к матрице В можно перейти за конечное число элементарных преобразований строк то любое решение системы А будет решением системы В.

Теорема: Если от матрицы А к матрице В можно перейти за конечное число элементарных преобразований строк то любое решение СЛАУ которой соответствует матрица А будет решением СЛАУ с матрицей В и наоборот.

Доказательство.

Согласно лемме любое решение системы А есть решение системы В. А исходя из теоремы№2 (БИЛЕТ№21) от матрицы В к матрице А можно перейти за конечное число элементарных преобразований строк. Таким образом исходя из леммы каждое решение системы В будет решением системы А.

Ã

Однородные системы линейных алгебраических уравнений.

Опр: СЛАУ (*) наз. однородной если правая часть всех уравнений равна 0. Т.е. имеет вид:

(**).

Однородная система (**) будет всегда совместимой т.к. имеет нулевое(тривиальное) решение. Кроме нулевого решения у системы может быть и не нулевое.

Теорема (о достаточном условии существования не нулевого решения ОСЛАУ): Если число уравнений в ОСЛАУ меньше числа неизвестных то система имеет не тривиальное решение.

Доказательство.

Приведем расширенную матрицу системы(**) к ступенчатому виду. Система уравнений ступенчатой матрицы исходя из теоремы№2 (БИЛЕТ№21) эквивалентна начальной системе(**) т.к. число уравнений меньше числа неизвестных то среди неизвестных существуют свободные неизвестные которым можно присвоить не нулевые значения. И соответствующие им решения будут не тривиальными решениями системы (**).

66.

67. Скалярне та векторне поля, їх характеристики. Формули Остроградського-Гаусса та стокса.

68.