![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Опр: Линейным алгебраическим уравнением относительно неизвестных x1, x2,…, xn наз. уравнение вида: a1x1+ a2x2+…+anxn=bn.
Рассмотрим систему из m–уравнений с n–неизвестными.
(*)
эта система уравнений характеризуется матрицей
наз. расширенной матрицей системы.
Столбец (b1,…,bn) наз. столбец свободных членов.
Матрица левой части –матрицей системы.
Опр: Решением СЛАУ наз. любую упорядоченную систему действительных чисел l1, l2,…, ln при условии, что каждое уравнение СЛАУ становится тождественным если: x1=l1,x2=l2,…, xn=ln.
Опр: Система (*) наз. совместимой если она имеет хотя бы одно решение (Не совместимой если нет решения).
Опр: Две СЛАУ наз эквивалентными если каждое решение 1-й системы является решением 2-й системы.
Лемма: Пусть существуют 2-е СЛАУ, которые характеризуются расширенными матрицами A и B, если от матрицы А к матрице В можно перейти за конечное число элементарных преобразований строк то любое решение системы А будет решением системы В.
Теорема: Если от матрицы А к матрице В можно перейти за конечное число элементарных преобразований строк то любое решение СЛАУ которой соответствует матрица А будет решением СЛАУ с матрицей В и наоборот.
Доказательство.
Согласно лемме любое решение системы А есть решение системы В. А исходя из теоремы№2 (БИЛЕТ№21) от матрицы В к матрице А можно перейти за конечное число элементарных преобразований строк. Таким образом исходя из леммы каждое решение системы В будет решением системы А.
Ã
Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
Опр: СЛАУ (*) наз. однородной если правая часть всех уравнений равна 0. Т.е. имеет вид:
(**).
Однородная система (**) будет всегда совместимой т.к. имеет нулевое(тривиальное) решение. Кроме нулевого решения у системы может быть и не нулевое.
Теорема (о достаточном условии существования не нулевого решения ОСЛАУ): Если число уравнений в ОСЛАУ меньше числа неизвестных то система имеет не тривиальное решение.
Доказательство.
Приведем расширенную матрицу системы(**) к ступенчатому виду. Система уравнений ступенчатой матрицы исходя из теоремы№2 (БИЛЕТ№21) эквивалентна начальной системе(**) т.к. число уравнений меньше числа неизвестных то среди неизвестных существуют свободные неизвестные которым можно присвоить не нулевые значения. И соответствующие им решения будут не тривиальными решениями системы (**).
66.
67. Скалярне та векторне поля, їх характеристики. Формули Остроградського-Гаусса та стокса.
68.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 397 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!