Exercices. 203) Etant donnés les ensembles A = {1; 2; 4; 6; 8; 10} et B = {1; 2; 3; 4; 5}

203) Etant donnés les ensembles A = {1; 2; 4; 6; 8; 10} et B = {1; 2; 3; 4; 5}.

Calculer

204) Dites si chaque proposition suivante est vraie ou fausse. Justifiez votre réponse.

a) Tout nombre décimal est un rationnel.

b) L’inverse d’un rationnel non nul est un rationnel.

c) Tout nombre entier est décimal.

d) Le seul nombre pair premier est le nombre 2.

205) Soit U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {b, d, e} et B = {a, d, e, g}. Trouver:
a) ; b) ; c) ; d) ; e)

206) Soit A = {Ø; {1}; {1; 2}}. Complétez au moyen de ou de :
a) Ø … A b) {1}… A c) {{1; 2}}… A

207) On appelle ensemble-puissance d'un ensemble A, noté P(A), l'ensemble de tous les sous-ensembles de A. Si A = {a, b, c}, trouver: a) P(A) b) Donner le cardinal de P(A) c) Si A contenait n éléments, quelle serait le cardinal de P(A)?

208) On donne les ensembles de réels suivants:

Déterminer:

209) On donne les ensembles de réels suivants:

Déterminer:

210) Combien d’éléments possède l’ensemble des racines de l’équation du second degré ?

211) On considère les ensembles: A = {1, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, C = Ø;

D = {3, 4, 5, 7}, E = {4, 6, 8}. a) Quels sont les inclusions parmi les ensembles A, B, C, D et E? b) Donner les éléments des ensembles:

212) On étudie une population de 100 étudiants. Parmi eux: 32 étudient la Médecine, 20 la Physique, 45 la Biologie; 15 étudient la Médecine et la Biologie, 7 la Médecine et la Physique, 10 la Physique et la Biologie; 30 n’étudient aucune de ces trois matières.

a) Combien étudient les trois matières en même temps?

b) Combien étudient la Médecine et la Biologie, mais pas la Physique?

c) Combien étudient une seule matière?

213) On interroge 100 enfants sur leur goûts alimentaires: 50 aiment les frites, 30 aiment le riz, 10 aiment le riz et les pâtes, 17 aiment les frites et le riz, 13 aiment les pâtes et les frites, 3 n’aiment ni les pâtes ni le riz ni les frites, 7 aiment le riz et les frites et les pâtes.

a) Exprimer ces assertions en termes de formules ensemblistes.

b) Parmi les enfants qui aiment les frites, combien sont-ils à aimer le riz ou à ne pas aimer les pâtes?

c) En déduire le nombre d’enfants qui aiment les pâtes.

214) Faire les opérations ensemblistes à l’aide de droites numériques:

a) si et

b) si et

c) si et

d) et

e) si et

f) si et

215) Effectuer les opérations demandées et donner la réponse en compréhension.

a) si et

b) si et

c) si et

216) 100 des 120 étudiants inscrits en première année apprennent au moins une langue étrangère, parmi l’anglais, l’italien et l’espagnol. Le département de langue nous informe que: 65 apprennent l’anglais; 45 apprennent l’italien; 42 apprennent l’espagnol; 20 apprennent l’anglais et l’italien; 25 apprennent l’anglais et l’espagnol et 15 apprennent l’italien et l’espagnol.

a) Compléter ce diagramme en indiquant le cardinal de chaque classe.

b) Combien y-a-t’il d’étudiant pratiquant les trois langues?

c) Combien d’étudiants pratiquant exactement une langue étrangère?

217) On considère une classe d’élèves. Soient les ensembles suivants:

A = {l’élève a une moyenne supérieure à 10}; B = {l’élève est un garçon}

C = {l’élève a faim}.

Exprimer à l’aide des opérations ensemblistes les événements ci-dessous:

1. L’élève a une moyenne supérieure à 10, n’est pas un garçon et n’a pas faim (A seul se produit),

2. A et C se produisent, mais pas B,

3. Les trois événements se produisent,

4. L’un au moins des événements se produit,

5. Deux événements au moins se produisent,

6. Un événement au plus se produit,

7. Aucun des trois événements ne se produit,

8. Exactement deux événements se produisent,

9. Pas plus de deux événements se produisent.

4. 2 Éléments de combinatoire

Mots à retenir

la combinatoire (комбинаторика) la permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n...) (перестановка)

l’arrangement (размещение) la factorielle (факториал)

En mathématiques (Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce...), la combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies...), appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements.

En particulier la combinatoire s'intéresse aux méthodes permettant de compter les éléments dans des ensembles finis (combinatoire énumérative) et à la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de...) des optima dans les configurations ainsi qu'à leur existence (combinatoire extrémale).

Voici quelques exemples de situations donnant lieu à des questions d'analyse combinatoire:

• les rangements de livres sur une étagère;
• les dispositions de personnes autour d'une table ronde;
• les tirages avec remise d'un certain nombre (Un nombre est un concept caractérisant une unité, une collection d'unités ou une fraction d'unité.) de boules numérotées dans une urne;
• les placements de jetons sur un damier.

Définitions

1) Soit n un entier naturel. Sa factorielle est formellement définie par:

Par convention: 0! = 1.
Exemple 1! = 1; 2! = 1 × 2 = 2; 3! = 1 × 2 × 3 = 6

10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 = 3 628 800

2) Permutations ( dispositions, ordonnancements) (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n...)

Comme exemple d'introduction, considérons le nombre de dispositions de six objets discernables dans six cases consécutives numérotées avec un et un seul objet par case. Chacun des objets peut être placé dans la première case, ce qui donne six possibilités d'occuper la première place. Une fois la première place occupée par l'un des objets, il reste encore cinq candidats pour la deuxième place, la deuxième place étant attribuée, il reste seulement quatre candidats pour la troisième place, et ainsi de suite. Pour l'avant-dernière place, il ne reste plus que deux objets, et une fois l'un des deux placé, la dernière place doit être occupée par le dernier objet.

Il y a ainsi 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ou 6! = 720 possibilités de disposer six objets discernables. Nous allons voir que le nombre de dispositions de n éléments discernables est égal à n!

Théorème Il y a n! permutations (sans répétition) de n éléments: