Exercices. 218) Un voyageur de commerce doit visiter n villes, une et une seule fois, en commençant d’une ville donnée

218) Un voyageur de commerce doit visiter n villes, une et une seule fois, en commençant d’une ville donnée. Combien de parcours possibles peut-il emprunter pour s’acquitter de sa tâche?

219) On place quatre jetons sur un échiquier de 4x4=16 cases. Combien y a-t-il de placements possibles?

220) Considérons un polygone à N côtés et N sommets, et supposons que jamais trois diagonales ne se coupent en un même point. Quel est le nombre de diagonales?

221) Douze coureurs prennent part а une course. De combien de façons peut-on attribuer le premier, le deuxième et le troisième prix?

222) Combien peut-on former de mots de 7 lettres avec les lettres du mot

PLAFOND si une même lettre ne peut être employée qu’une seule fois?

223) Combien y a-t-il de mots de 4 lettres qui commencent:

a) par 2 voyelles? (les autres lettres sont quelconques)

b) par 2 voyelles ou par 2 consonnes?

224) De combien de façons peut-on peindre les 4 murs d'une chambre si on dispose de 6 couleurs?

225) On sait qu'un code postal est formé de 3 lettres et de 3 chiffres. Sachant que seulement 20 lettres sont permises, combien peut-on retrouver de codes postaux différents?

226) Un restaurant affiche le menu suivant:

POTAGE	ENTRÉE	PLAT PRINCIPAL	DESSERT
• tomate • légume	• crevette • salade	• canard • boeuf • truite	• gâteau • fruit

Combien existe-t-il de choix différents de repas complets?

227) Combien peut-on former de plaques d’immatriculation différentes constituées de a) quatre chiffres? b) quatre chiffres ou moins?

228) Avec les lettres A, B, C, D, E et F combien de mots différents de 5 lettres peut-on former

a) au total?

b) si les répétitions des lettres ne sont pas permises?

c) si les répétitions des lettres ne sont pas permises et le mot commence par une consonne?

d) si les répétitions des lettres ne sont pas permises et le mot se termine par deux voyelles ou deux consonnes?

229) Combien de nombres de 3 chiffres supérieurs а 546 peut-on former avec les chiffres 2, 4, 5, 7 si les répétitions ne sont pas permises?

230) Un manufacturier fabrique 5 modèles de souliers en 10 pointures et 3 couleurs. Combien de différentes sortes de paires de souliers fabrique-t-il?

231) On lance simultanément une pièce de monnaie et un dé. Combien y a-t- il de résultats possibles?

232) Un questionnaire objectif comporte 10 questions. А chaque question, on peut répondre par VRAI ou FAUX. Combien y a-t-il de façons de répondre au questionnaire complet?

233) Un coffre-fort possède 3 roulettes numérotées de 1 а 25. Un voleur tente d’ouvrir le coffre-fort et il ne connaît pas la combinaison.

a) Combien existe-t-il de possibilités de combinaisons?

b) De combien de façons peut-il se tromper?

234) De combien de façons différentes peuvent s’établir

a) les 3 premières places d’une course de 8 chevaux?

b) les 3 premières places d'une course de 10 chevaux?

c) les 4 premières places d'une course de 10 chevaux?

235) Trois athlètes participent а cinq compétitions sportives. De combien de façons différentes, les cinq compétitions peuvent-elles être gagnées?

236) Avec les lettres du mot MINÉRAUX, combien peut-on former de mots différents (répétitions non permises)

a) de 8 lettres?

b) de 8 lettres commençant et se terminant par une consonne?

237) De combien de façons 6 personnes peuvent-elles s'asseoir dans une voiture à 6 sièges si seulement 2 d'entre elles savent conduire?

4.3 Probabilités

Mots à retenir

la probabilité (вероятность) un événement (событие)

un expérience (опыт) aléatoire (случайный)

incompatible (несовместный) disjoint (непересекающийся)

l’équiprobabilité (равновероятность) une éventualité (возможность)

On considère une expérience (par exemple le jet d'un dé). L'ensemble de tous les résultats possibles est supposé fini et noté Ω.

Définitions

1) Une expérience est dite aléatoire si ses résultats ne sont pas prévisibles avec certitude en fonction des conditions initiales.

2) Un évènement est l'ensemble de tous les résultats caractérisés par une même propriété lors d'une expérience.

Exemple le numéro sorti lors d'un jet d'un dé est pair: A = {2, 4, 6}.

3) Un événement élémentaire est l'événement constitué d'un seul résultat.

Exemple les événements élémentaires du jet d'un dé sont {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.

4) L’intersection de deux événements A et B est l'événement constitué des résultats communs aux événements A et B. C'est la partie

Exemple Si A correspond à l'obtention d'un nombre pair et B à l'obtention d'un multiple de 3, alors:

5) Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) si ils n'ont aucun résultat en commun, ce qui correspond à Ø.

Exemple Si A correspond à l'obtention d'un nombre impair et B à l'obtention d'un multiple de 4, alors A et B sont incompatibles.

6) Deux événements sont indépendants si la probabilité de réalisation de l'un des événements n'est pas changé si l'autre événement est réalisé.

7) La réunion de deux événements est l'événement constitué des résultats de l'événement A ou de l'événement B. C'est la partie

Exemple Si A correspond à l'obtention d'un numéro pair et B à l'obtention d'un numéro supérieur ou égal à 3, alors:

8) L’événement contraire de A est l'événement constitué des résultats n'appartenant pas à A.

Exemple Si A correspond à l'obtention d'un numéro pair, alors l'événement contraire de A est: {1, 3, 5} (obtention d'un numéro impair).

Lors d'une expérience, on cherche à mesurer par un réel la chance d'obtenir telle ou telle propriété caractérisant un événement. Lorsque l'expérience est répétée un grand nombre de fois, ce réel peut être la fréquence de l'événement.

9) La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires composant A. On note P(A) cette probabilité.

Exemple Si A correspond à l'obtention d'un nombre impair et si tous les numéros ont la même chance d'apparaître, alors:
P(A) = P ({1}) + P ({3}) + P ({5}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2.

10) On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Propriétés

1) Dans le cas d' équiprobabilité où m est le nombre de cas favorable, n est le nombre total de cas.

2) P(Ø)= 0, P(Ω) = 1 et pour tout événement,

3) Si A et B sont incompatibles, alors

4) Si A et B sont quelconques, alors:

5) Pour l’événement contraire de A: