Fonctions logarithmes

Mots à retenir

un logarithme de base a (логарифм по основанию a)

la base de logarithme (основание логарифма)

Définitions

1) Pour tout , l'équation admet une solution unique dans R. Cette solution est appelée logarithme népérien de k, et noté ln k.

2) On appelle constante de Neper, et on note e, l'unique réel tel que ln e = 1. On a environ e ≈ 2,718281828...

Remarque mot issu du grec logos, «raison» ou ici «rapport», et arithmos, «nombre». John Neper, nom francisé de l'anglais Napier, (1550-1617) fut l'inventeur du logarithme, alors qu'il travaillait à simplifier les calculs trigonométriques des astronomes qui devenaient de plus en plus compliqués.
Son idée était de transformer des produits en sommes afin d'alléger ces calculs astronomiques.

3) La fonction logarithme népérien notée f(x) = ln x, est la fonction qui à tout réel x > 0 associe le réel ln x.

Propriétés algébriques

Les propriétés suivantes sont fondamentales et caractéristiques de la fonction logarithme.

1) ln 1 = 0 car e ⁰ =1 et ln e = 1 car e ¹ = e

2) (le logarithme d’un produit est égal а la somme des logarithmes)

3) Logarithme de l’inverse:

4) Logarithme d’un quotient:

5) Logarithme d’une puissance: et dans le cas particulier: pour

a > 0, donc

Etude de la fonction f(x) = ln x

1) La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l’intervalle . Cela implique que pour tous réels a et b de on a:

· ln a = ln b équivaut à a = b

· ln a > ln b équivaut à a > b

· ln a< ln b équivaut à a < b

2) Tout réel y admet donc un et un seul antécédent x appartenant à ]0,+∞[. En particulier, 1 admet un unique antécédent noté e.