Exercices. 41)Trouver les nombres critiques des fonctions suivantes :

41) Trouver les nombres critiques des fonctions suivantes:

a) b) c) d)

e) f) g)

42) Trouver les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que les extremums de chacune des fonctions associées aux équations suivantes.

a) b) c)

d) e) f) g)

43) Déterminer les variations de chacune des fonctions suivantes. On précisera les valeurs exactes des extremums s’il y en a.

a) b) c)

d) pour e) pour

44) Étudier les fonctions suivantes (l’ensemble de définition, croissance et décroissance, extremums, représentation graphique)

a) b) c) d)

e) f) g) h)

45) On coupe un fil de longueur 48m. Un partie de ceux fil sert à construire un carré et l'autre sert à construire un triangle équilatérale.
Comment doit-on couper le fil pour que la somme des aires du triangle et du carré soit minimale?

46) Une compagnie de pneus a déterminé qu’une production de x pneus

(0 ≤ x ≤ 50 000) devrait rapporter un profit de dollars

Sur quelle étendue de la production, les profits de la compagnie augmentent-ils?

47) Si une société vend x articles par jour (0 ≤ x ≤ 400) alors son revenu R(x) sera de dollars. Déterminer pour quelles valeurs de x, le revenu de la société croît et pour quelles valeurs de x, il décroit.

48) Un fabricant produit des disques et il estime que s’il les vend x dollars chacun

(5 ≤ x ≤ 14), son profit quotidien sera P(x) = 10(x - 5)(14 - x) dollars.

a) А quel prix le fabricant doit-il vendre ses disques pour maximiser son profit?

b) Quel sera alors son profit?

49) L’expression N(t) = 8,1t² - 0,9t³ représente la note d’examen d’un élève en fonction du temps d’étude t exprimé en heures (0 ≤ t ≤ 9). Trouver le temps d’étude qui maximise sa note.

50) La concentration C(t) (en mg) d’un médicament dans le système sanguin d’un patient t heures après une injection est donnée par

a) Déterminer le nombre d’heures après l’injection où la concentration est maximale.

b) Trouver cette concentration maximale.

51) Trouver a et b pour que y = x³ - ax² + b ait un extremum au point (2, 3).

52) Du sommet d’un bâtiment, on lance une balle vers le haut. La position de la balle par rapport au sol (en mètres) а l’instant t (en secondes) est donnée par

S (t) = -4,9t² + 25t + 30.

a) Trouver la vitesse de la balle а la 1re et3e seconde (interpréter les réponses obtenues).

b) Trouver l’accélération de la balle а la1^re et 3^e seconde (interpréter les réponses obtenues).

53) Pour chacune des fonctions f, g, h et k définies sur par les expressions suivantes, calculer la fonction dérivée. Écrire une équation de la tangente à la courbe représentative de chacune de ces fonctions en x = 1.

54) La fonction f est définie sur R par où m et p sont les réels donnés. Déterminer ces réels sachant que la représentation graphique de la fonction f admet au point A (1; 4) une tangente de coefficient directeur 5.

55) La fonction f est définie pour tout x différent de 1 par Peut-on trouver un ou plusieurs points du graphique de cette fonction en lesquels la tangente soit parallèle à la droite d’équation

56) On dispose d’une plaque carrée de côté 1 mètre; on enlève dans chacun des coins de la plaque un carré de côté (mètre) et on forme ainsi une boîte sans couvercle. Exprimer le volume de cette boîte en fonction de x puis déterminer le volume maximal.

1.5 Révision

57) Pour chacune des fonctions définies ci-dessous, préciser son ensemble de définition

a) f (x) =	b) g (x) = (ln x)²	c) h (x)= ln(3 x – 5)
d) i (x) = ln(x ² + x + 1)	e) k (x) = ln	f) m (x) = ln (ln x)

58) Simplifier les écritures suivantes: a)

b) c)

d) e) f)

59) Résoudre les équations suivantes:

a) b) c) d)

e) f) g)

h) i) j)

60) Résoudre les inéquations suivantes:

a) b) c) d) e)

61) Résoudre les équations suivantes:

a) b) c) d) e)

f) g) h) i)

62) Simplifier les expressions suivantes:

a) b) c)

63) Résoudre les inéquations suivantes:

a) b) c) d)

e) f) g)

64) Pour chacune des fonctions suivantes, donner le domaine de définition de la fonction, calculer la dérivée et donner le domaine de définition de la dérivée.

a) b) c) d) e) f) g) h)

i) j) k)

65) Calculer le nombre dérivé des fonctions suivantes

a) en b) en x = 3

c) en x = 1 d) en x = 1

66) Trouver les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que les extremums relatifs de chacune des fonctions associées aux équations suivantes.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

67) La fonction L(x) = représente la production laitière en litres d’une vache. Dans cette équation, x est le niveau hormonal en cm³ injecté par jour а cette vache (0 ≤ x ≤ 10).

a) Déterminer le niveau hormonal qui maximise la production laitière.

b) Trouver cette production maximale.

68) On considère les fonctions f et g définir par et Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la représentation graphique de chacune de ces fonctions au point d’abscisse 4.

69) Dons chacun des cas suivants, déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a donné.

a) b) c)

d) e) f)

2. Des objets de l’espace: les solides