Exercices. 28) Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

28) Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes:

a) b) c) d) e)

29) Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes:

a) f (x) = - 3 x + 2 b) g (x) = c) h (x) = - 2 x ³ d) i (x) = x ² e) j (x) = 5 x ² – 4 x + 5

30) Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions définies sur R. Attention à l’ensemble de dérivation.

a) b) c)

d) e) f)

31) Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes et l’ensemble de dérivation.

a) b) c)

d) f) g) h)

32) Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes. (Attention à l’ensemble de dérivation)

a) b) c) d) e) f) g) h)

33) Pour chacune des fonctions suivantes, donner le domaine de définition de la fonction, calculer la dérivée et donner le domaine de définition de la dérivée.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k)

34) Dériver les fonctions suivantes:

a) b) c) d) e)

f) g) h) i)

35) Dériver les fonctions suivantes:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

36) Calculer le nombre dérivé des fonctions suivantes

a) en b) en c) en

37) Pour quelles valeurs de x la fonction dérivée de est égale à 0?

38) Pour quelles valeurs de x la fonction dérivée de est strictement positive?

39) Calculer le nombre dérivé des fonctions suivantes

a) en x = 0 b) en x = 4

c) en d) en

40) Pour quelles valeurs de x la fonction dérivée de est strictement négative?

1.4 Applications de la dérivabilité

Mots à retenir

le nombre critiquede la fonction (критическая точка функции)

le sens de variation d’une fonction (промежутки монотонности функции)

la fonction est continue (функция непрерывна)

la tangente à une courbe (касательная к кривой)

La notion de dérivée est une notion fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) en analyse fonctionnelle. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple,...) et de résoudre des problèmes d'optimisation.

Définition Soit ƒ une fonction et c une valeur de l’ensemble définition de cette fonction. Si ƒ ’(c) = 0 ou ƒ ’(c) n’existe pas alors c est appelé nombre critiquede la fonction ƒ.

Exemple Trouver les nombres critiques de

Rédaction: a) b)

c) si x = - 1 et n’existe pas si x = 0. Car x = -1 et x = 0 sont deux valeurs de l’ensemble définition de cette fonction, ils sont les nombres critiques.

La dérivée d’une fonction nous renseigne sur certaines particularités de son graphique. Elle permet d’identifier entre autres

• pour quelles valeurs de son domaine la courbe croît ou décroît

• quelles sont les extremums de la fonction.

Étudier les variations et les extremums d’une fonction

Intuitivement lorsqu’on se déplace de gauche vers la droite sur l’axe des x et que le graphique d’une fonction monte, on dit que la fonction est croissante; lorsque le graphique descend, la fonction est dite décroissante.

Méthode 1 Pour trouver le sens de variation d’une fonction, on cherche le signe de sa dérivée.

Soit ƒ une fonction dérivable sur l’intervalle I. Si pour chaque x dans l’intervalle I

• ƒ ’(x) > 0 alors ƒ est croissante sur I,
• ƒ ’(x) < 0 alors ƒ est décroissante sur I.

Exemple Trouver les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction

Rédaction: a) b)

Pour déterminer où sur l’ensemble définition de la fonction, la dérivée est positive et où, elle est négative, on construit le tableau des signes de ƒ ’. Pour cela on doit d’abord déterminer les endroits où la dérivée peut changer de signe. Il peut se produire unchangement de signe seulement aux endroits où la dérivée passe par zéro ou n’existe pas. On doit d’abord trouver ces valeurs:

Donc les nombres critiques sont 3 et 1.

c) A l’aide des valeurs trouvées, on construit le tableau des signes de la dérivée.

x	1 3
signe de	+ 0 - 0 +
variations de

Réponse: la fonction est décroissante sur ]1, 3[, croissante sur .

Méthode 2 Pour obtenir les extremums relatifs d’une fonction, il suffit de trouver

les nombres critiques de la fonction puis de déterminer ensuite la nature de chaque nombre critique.

Soit ƒ une fonction dérivable sur l’intervalle I et x₀ un réel de I. Si s’annule en x₀ en changeant de signe, alors admet un extremum en x₀.

• admet un maximum en x₀

x	x0
signe de	+ 0 -
variations de

• admet un minimum en x₀

x	x0
signe de	- 0 +
variations de

Exemple: Trouver les intervalles de croissance, de décroissance ainsi que les extremums de la fonction

Rédaction: a) b) est continue sur

c) Les nombres critiques sont 1 et -1 car 0 ne fait pas partie de l’ensemble définition de la fonction.

c) Tableau des signes de la dérivée:

x	-1 0 1
signe de	+ 0 - | - 0 +
variations de	-2 min max | 2

Réponse: la fonction est décroissante sur , croissante sur ,

Méthode 3 Un plan d’étude d’une fonction

L’étude complète d’une fonction obéit à la procédure suivante:

1) préciser d’abord l’ensemble de définition;

2) examiner si la fonction est paire ou impaire et en tirer les conséquences graphiques;

3) déterminer les limites nécessaires;

4) calculer la dérivée, étudier son signe, en déduire les variations de la fonction, dresser un tableau qui résume tous ces résultats;

5) dessiner une représentation graphique aussi précise que possible, tenant compte de toutes les informations précédentes.

Problèmes d’optimisation

Définition Un problème d’optimisation est un problème dans lequel il est demandé de déterminer une valeur qui minimise ou maximise une certaine quantité.

Méthode 4 pour optimiser un rendement à l'aide du calcul différentiel:

a) Mathématisation

• Définitions et dessin: on définit les variables inconnues et on les représente sur un schéma.
• Écrire la fonction à deux variables et préciser si on recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de...) un maximum ou un minimum dans la situation donnée.
• Trouver la relation entre les deux variables.
• Écrire la fonction à une variable et préciser l’ensemble de définition.

b) Analyse

• Dériver la fonction pour obtenir la dérivée.
• Trouver les nombres critiques de la fonction, où la dérivée vaut zéro ou n'existe pas dans les intervalles de l’ensemble de définition.

• Effectuer le test de la dérivée pour déterminer le maximum ou le minimum recherché de la situation.

c) On formule la réponse de façon concise par rapport à la question.

Exemple: Le patron d’un restaurant s’est rendu compte que s’il fixe le prix de son plat du jour а x dollars, son revenu hebdomadaire sera de dollars.

a) А quel prix, le restaurateur doit-il fixer son plat du jour pour que son revenu soit maximal? b) Quel sera son revenu maximal?

Rédaction:

a) (On limite l’ensemble de définition à l’intervalle [0, 7] car lorsque x n’est pas dans [0, 7], le restaurateur subit des pertes.)

b) R est continue sur [0, 7]

c) Le nombre critique est 3,5.

d) Tableau des signes de la dérivée

x	0 3,5 7
signe de	+ 0 -
variations de	1225 0 max 0

Réponse: lorsque le prix du plat du jour est fixé а 3,50 $ le revenu du restaurateur est maximal (1225 $).

Tangente à une courbe

Interprétation graphique du nombre dérivé:si une fonction f est dérivable en a, la courbe représentativeadmet en A (a; f (a)) une tangente (AT), unique et non verticale, de coefficient directeur . Et réciproquement.

Méthode 5 Pour trouver une équation de la tangente, on peut écrire

Exemple: Soit la fonction f telle que . Déterminer l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 de sa courbe représentative.

Rédaction: Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 0 est donné par le nombre dérivée de f en 0. Or , donc , le coefficient directeur de la tangente est donc 1. L’équation réduite de cette tangente est , donc y = x.

Réponse: l’équation demandée est y = x.